Wahrscheinlichkeitsrechnung: 3/4 aller Patienten, die ein Medikament erhalten, werden geheilt.

Question

Von einem Medikament ist bekannt, dass es in 3/4 aller Fälle eine Krankheit heilt. Drei Patienten werden damit behandelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:

a) Genau ein Patient wird geheilt.

b) Nur ein Patient wird nicht geheilt.

c) Höchstens zwei Patienten werden geheilt.

Was muss man da rechnen?

Answer 1

a) Genau ein Patient wird geheilt.

Rechne

3/4 * 1/4 * 1/4 + 1/4 * 3/4 * 1/4 + 1/4 * 1/4 * 3/4   | kürzer

= 3* (1/4 * 1/4 * 3/4) = 9/64

b) Nur ein Patient wird nicht geheilt.

Rechne

3/4 * 3/4 * 1/4 + 1/4 * 3/4 * 3/4 + 1/4 * 3/4 * 3/4   | kürzer

= 3* (1/4 * 3/4 * 3/4) = 27/64 

c) Höchstens zwei Patienten werden geheilt. = Es werden nicht alle 3 Patienten geheilt:

Rechne

1 - 3/4 * 3/4 * 3/4 = 1 - 27/ 64 = 37 / 64

Comments

Warum muss man denn das ganze nochmal mit 3 multiplizieren?

Answer 2

Heilungswahrscheinlichkeit p = 3/4 = 0,75

Gegenwahrscheinlichkeit 1 - p = 0,25

Anzahl der Patienten = 3

a) Genau ein Patient wird geheilt.

(3 über 1) * 0,75¹ * 0,25² = 3 * 0,75 * 0,625 = 0,140625 = 14,0625%

b) Nur ein Patient wird nicht geheilt.

Also: Zwei Patienten werden geheilt.

(3 über 2) * 0,75² * 0,25¹ = 3 * 0,5625 * 0,25 = 0,421875 = 42,1875%

c) Höchstens zwei Patienten werden geheilt.

Arbeiten mit der Gegenwahrscheinlichkeit "3 Patienten werden geheilt".

P("höchstens zwei Patienten werden geheilt") = 1 - P("3 Patienten werden geheilt")

P("3 Patienten werden geheilt") = (3 über 3) * 0,75³ * 0,25⁰ = 1 * 0,75³ * 1 = 0,421875

Also

P("höchstens zwei Patienten werden geheilt") = 1 - 0,421875 = 0,578125 = 57,8125%

Alternativ könnte man hier auch rechnen

P("höchstens zwei Patienten werden geheilt") = P("keiner wird geheilt") + P("einer wird geheilt") + P("zwei werden geheilt")

Das wäre aber mit mehr Rechenaufwand verbunden.

Der Ausdruck (n über k) gibt die Anzahl der Pfade an, das nachfolgende Produkt die Einzelwahrscheinlichkeit eines Pfades, was man sich mit einem Baumdiagramm recht gut veranschaulichen kann.

Besten Gruß