Stammfunktionen bestimmen

Question

Geben Sie eine Stammfunktion von f an. Schreiben Sie dazu den Funktionsterm als Summe.

a) f(x) = x² + 2x (Bruchstrich) x⁴

b) f(x) = x³ + 1 (Bruchstrich) 2x²

c) f(x) =  1 + x + x³ (Bruchstrich) 3x³

d) f(x) = (2x + 1)² - 1 (Bruchstrich)  x

Comments

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super ->
hast du noch mehr solche Aufgaben ?

.. und wie hast du diese 4 denn gelöst?


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Das weiß ich ja nicht :) also z.b. bei der a) muss man die Funktion umformen und man erhält (x² + 2x) * x^-4 aber wie geht es dann weiter da hier eine Verkettung vorliegt?:)

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Du mußt    VOR   dem Integrieren vereinfachen, dann erhältst Du einfache Integrale.

Ich glaube Du siehst das zu kompliziert.

:-)

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Habe ich ja bei der a im Kommentar gemacht :) Oder nicht? Ich habe die Funktion aus der a umgeformt und möchte jetzt die Stammfunktion bilden und Ich weiß nicht wie da das doch eine Verkettung ist :)

Answer 1

a)
f ( x ) = ( x² + 2x ) / x⁴

es gibt mehrere Varianten zur Lösung

zuerst  Summandenweises teilen
f ( x ) = x² / x^4+ 2x  / x^4
f ( x ) = 1 / x^2 + 2 / x^3
f ( x ) = x^{-2} + 2 *x^{-3}

Dann summandenweise Integrieren. Dann hast du
keine Verkettung.

Durch den negativen Exponenten wirds ein bißchen
komplizierter ist aber das gleiche Schema wie bei einem
positiven Exponenten
∫ x^n = x^{n+1} / ( n + 1 )
∫ x^{-2} = x^{-2+1} / ( -2 + 1 ) = x^{-1} / ( -1 ) = - x^{-1} = - 1 / x
usw

∫ f ( x ) = x^{-1} / (-1 ) + 2 *  x^{-2 } / ( -2 ) = - x^{-1} - 1 * x^{-2}
= - 1/x  -  1 / x^2

Bin bei Bedarf weiter behilflich

Comments

Achso die erste Variante kann Ich nachvollziehen, aber mal angenommen wir wollen die Funktion (x² + 2x) * x^-4 ableiten dann müsste man die Produktregel anwenden, wegen der Mal zeichen. Aber nun müssen wir die Funktion integrieren und wegen dem Mal zeichen weiß ich nicht wie das geht, dafür gibt es doch bestimmt eine Regel für.

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Leider nicht.

Wie du auch schon richtig erkannt hast könnte man hier fürs ABLEITEN
z.B. die Produkt- oder Quotientenregel anwenden.

Fürs Integrieren gibt es es solche Regeln nicht.
Werden die zu integrierenden Ausdrücke komplizierter
kann man vielleicht die Substitution, partielles Integrieren
oder Partialbruchzerlegenung ausprobieren.

Hier bei deinen Aufgaben ist summandenweises Integrieren
das Einfachste.

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Ja stimmt, habe jetzt auch die Aufgaben alle verstanden, vielen dank :)

Answer 2

 Es ist immer das gleiche Strickmuster, teile Zähler durch Nenner und integriere

Beispiel zu a)

=int( 1/x^2 +2/x^3)dx

=-1/x -1/x^2+C

Comments

Also die Stammfunktion von x² ist = 1/3 x³ bei solchen einfachen Funktionen weiß ich wie man die Stammfunktion bildet aber in den Aufgaben ist ja immer eine Verkettung vorhanden :)

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Ich habe Dir doch die Lösung geschrieben, was verstehst Du nicht?

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Deine Lösung.

Mal ein Beispiel zur Veranschaulichung meines Problems:

f(x) = 3*(2x+1)³

Also lautet F(x) = 1/2 * 1/4 * 3(2x+1) = 3/8*(2x+1)⁴

Die querstriche sollen hierbei die Bruchstriche darstellen.

Wie Sie an diesem Beispiel sehen rechnet man Vekettungen anders als normale Funktion wie einfach nur x² und alle obigen Aufgaben sind Verkettungen bei denen Ich aber nicht weiss wie man diese rechnet.