Beweisen Sie für 0 ≤ x ≤ 9 gilt: 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 ≤ cos(x)

Question

Es gilt folgender Satz, für 0 ≤ x ≤ √12: $$ 1-\frac { { x }^{ 2 }}{ 2 }\leq cos (x) \leq 1-\frac { { x }^{ 2 }}{ 2 }+\frac { { x }^{ 4 } }{ 24 }.$$

1) Beweisen Sie für 0 ≤ x ≤ 9 gilt: $$ 1-\frac { { x }^{ 2 }}{ 2 } +\frac { { x }^{ 4 }}{ 24 }-\frac { { x }^{ 6 } }{ 720 }\leq cos(x).$$ 2) Beweisen Sie: $$ 3 < \pi < 3,2.$$ 3) Beweisen Sie: $$2,7 < e < 3.$$
Hinweis zu 2): Benutzen Sie folgende Sätze:
a) Die Cosinusfunktion ist auf dem Intervall [0,2] monoton fallend.
b) Die Kreiszahl π ist dadurch definiert, dass π/2 die Nullstelle des Cosinus im Intervall (0,2) ist.
Hinweis zur 3): Benutzen Sie folgenden Satz: $$|\exp(x)- \sum _{n=0}^{N}{\frac { { x }^{ n } }{ n! }}|\leq2\frac { { |x| }^{ N+1 } }{ (N+1)! }, falls\quad|x|\leq1+\frac { N }{ 2 }.$$

Comments

kann bitte jdn die erste Aufgabe ausführlich lösen ? ich bleibe echt hängen :(

Sabrina.

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Die wurde doch schon vor 3 Tagen gelöst???

Answer 1

Zu (1)
Definiere
$$ (1) \quad f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-cos(x) $$ und
$$ (2) \quad g(x)=\frac{x^6}{720}  $$
Zu zeigen ist
$$ (3) \quad \frac{f(x)}{g(x)} \le 1  $$
Es gilt nach Voraussetzung \( f(x) \ge 0 \) und \( g(x) \ge 0 \)
Nach dem Mittelwertsatz folgt
$$ (4) \quad \frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\frac{-\xi+\frac{1}{6}\xi^3+sin(\xi)}{\frac{\xi^5}{120}} $$
Den Mittelwertsatz nochmals anwenden ergibt
$$ (5) \quad \frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\frac{-1+\frac{1}{2}\eta^2+cos(\eta)}{\frac{\eta^4}{24}} \le 1 $$
nach Voraussetzung und mit geeigneten Zahlen \( \xi \) und \( \eta \) was zu beweisen war.

Zu (2)

Aus

$$  1-\frac{x^2}{2} \le cos(x) $$ folgt für \( x = \frac{\pi}{4} \)

$$  1-\frac{\pi^2}{32} \le \frac{\sqrt{2}}{2} $$ und daraus

$$  \pi \ge 4\sqrt{2-\sqrt{2}} = 3.061 $$ und aus

$$  cos(x) \le 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} $$ folgt für \( x = \frac{\pi}{2} \)

$$  0 \le 1-\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^4}{384}  $$ und daraus folgt

$$  x \le 3.185 $$

Also insgesamt

$$  3.061 \le \pi \le 3.185 $$

was zu beweisen war.

Comments

Wie kommt man darauf g(x) so zu definieren?

Kann man das auch hne Mittelwertsatz beweisen?

mfg

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Durch probieren kommt man auf g(x). Und ob es ohne MWS geht, keine Ahnung.

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Die Antwort zu 1) habe ich leider nicht ganz verstanden :( wie macht man dann weiter damit man beweist was man beweisen soll ?

Sabrina .

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Was an dem Beweis genau hast Du nicht verstanden?

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ich weiss nicht wie ich von 5) zu lösung komme , welche zahlen soll ich denn einsetzen ? und wie kommt man danach zum beweis ?

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bei (5) gilt \( f(0)=0  \) und \( g(0)=0 \)

Wegen der Voraussetzung gilt, das die rechte Seite \( \le 1 \)  ist und damit ist \( \frac{f(x)}{g(x)} \le 1 \) was zu beweisen war.

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muss aber 0<=x<=9 gelten  aber bei deiner lösung kommt man zu 0<=x<=1 , richtig ? oder verstehe das nicht  ? :(

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Warum folgt aus \(f(x)\leq g(x)\) der erste Teil der Frage?
Wie genau folgt (4) aus dem Mittelwertsatz?

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nein, in meinem Beweis gibt es keine Einschränkung auf einen bestimmten Bereich für \( x \). Siehe die folgende Grafik.

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Da werden die Ableitung von \( f(x) \) und \(g(x)\) berechnet.

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kannst du mir bitte erklären was du meinst mit nach Voraussetzung und mit geeigneten Zahlen 

ξ und η was zu beweisen war  ? wie soll ich den beweis weiter machen damit ich zu ergebnis komme ? 

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Müssen wir denn hier überhaupt konkrete Zahlen einsetzen? Es reicht doch eigentlich, was ullim geschrieben hat und wenn man will, kann man für sich noch eine konkrete Zahl einsetzen, oder liege ich hier falsch?

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Hi
die Voraussetzung war ja
$$ cos(x)<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}  $$
woraus sofort (5) folgt, weil diese Ungleichung für alle \( x \) gilt, also auch für \( \eta \)
Die Werte \( \xi \) und \( \eta \) sind keine Werte, von denen man weiss welchen Wert sie annehmen, man weiss nur das sie existieren. Das sagt ja gerade der Mittelwertsatz aus. Und wie kontolyo richtig sagt, man muss keine konkreten Werte einsetzten. Es reicht die Existenz.
Und weil noch zusätzlich gilt \( f(0)=0 \) und \( g(0)=0 \) hat man (3) beweisen, was zu zeigen war.

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Worauf wendest du den Mittelwertsatz denn an?
Warum folgt aus (3) die Behauptung?

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Danke für deine zusätzliche Erläuterung ullim!

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Hi,
was man beweisen will ist doch das
$$ 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cfrac{x^6}{720}\le cos(x)  $$
Das ist äquivalent mit (3), ein bisschen nachrechnen hilft da.
Der MWS wird auf die rechte Seite von (4) angewendet ergibt,
da \( \frac{Z(x)-Z(0)}{N)x)-N(0)}=\frac{Z'(x)}{N'(x)} \) und \( Z(0)=0 \) sowie \( N(0)=0 \) gilt das Ergebnis aus (5), wenn \( Z(x) \) den Zähler und \( N(x) \) den Nenner aus (4) darstellen

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Ein bisschen nachrechnen liefert \(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{24}\leq\cos x.\)

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Genau, und damit ist Aufgabe (1) bewiesen.

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Daraus erhalte ich nach wie vor \(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\le\frac{29}{720}x^6+\cos x\).

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$$ 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} \le cos(x) $$ ist äquivalent mit

$$  1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-cos(x) \le \frac{x^6}{720} $$ und das ist äquivalent mit

$$  \frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-cos(x)}{\frac{x^6}{720}} \le 1 $$ und das ist (3)

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(3) ist$$\frac{1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cos x}{\frac{x^6}{24}}\le1.$$

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bei (3) habe ich mich vertippt, es muss so lauten wie ich eben kommentiert habe. Ich korrigiere das in der Lösung. Im Folgenden habe ich auch so weiter gerechnet.

Answer 2

Zu (3):$$\text{(3a) }e=\exp(1)>\sum_{n=0}^4\frac1{n!}=\frac{65}{24}=\frac{27}{10}+\frac1{120}>2.7.$$(3b) Wähle \(x=1\) und \(N=2\). Dann gilt nach dem Hinweis \(\vert\exp(1)-\frac52\vert\le\frac13\). Daraus folgt \(e\le\frac52+\frac13=\frac{17}6<\frac{18}6=3\).