Zu (1)
Definiere
(1)f(x)=1−2x2+24x4−cos(x) und
(2)g(x)=720x6
Zu zeigen ist
(3)g(x)f(x)≤1
Es gilt nach Voraussetzung f(x)≥0 und g(x)≥0
Nach dem Mittelwertsatz folgt
(4)g(x)−g(0)f(x)−f(0)=120ξ5−ξ+61ξ3+sin(ξ)
Den Mittelwertsatz nochmals anwenden ergibt
(5)g(x)−g(0)f(x)−f(0)=24η4−1+21η2+cos(η)≤1
nach Voraussetzung und mit geeigneten Zahlen ξ und η was zu beweisen war.
Zu (2)
Aus
1−2x2≤cos(x) folgt für x=4π
1−32π2≤22 und daraus
π≥42−2=3.061 und aus
cos(x)≤1−2x2+24x4 folgt für x=2π
0≤1−8π2+384π4 und daraus folgt
x≤3.185
Also insgesamt
3.061≤π≤3.185
was zu beweisen war.