Parabeln miteinander berühren

Question

Wie geht das ?

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x^2 -5+(4/x^2), mit dem Schaubild K.

Es gibt zwei Parabel 2.Ordnung, die K jeweils in zwei Schnittpunkten mit der x-Achse berühren. Bestimmen Sie den Funktionsterm EINER Parabel.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x² -5+(4/x²), mit dem Schaubild K.

Es gibt zwei Parabel 2.Ordnung, die K jeweils in zwei Schnittpunkten
mit der x-Achse berühren. Bestimmen Sie den Funktionsterm EINER Parabel.

f ( x ) = x^2 - 5 + ( 4 / x^2 )
Schnittpunkte mit der x-Achse
x^2 - 6 + ( 4 / x^2 ) = 0
x = ± 1
x = ± 2
N ( 1  | 0 )
N ( -1  | 0 )
N ( 2  | 0 )
N ( -2  | 0 )

f ´ ( x ) = 2*x - 8  / x^3

Parabel
g ( x ) = a*x^2 + bx + c
Die Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse daher reduziert
sich die Parabel auf
g ( x ) = a*x^2 + c
g ´( x ) = 2*a*x

Berührpunkt
f ( x )  = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x )

g ( 1 ) = a*1^2 + c = 0
f ´( 1 ) = 2*1 - 8 / 1 = -2
g ´( 1 ) = 2*a*1 = -6
a = -3
(-3)*1^2 + c = 0
c = 3

EINE Parabel
g ( x ) = (-3)*x^2 + 3

Answer 2

g1(x) = a·(x^2 - 1)

g1'(1) = a·(2·1) = 2·1 - 8/1^3 --> a = -3

g1(x) = -3·(x^2 - 1)

g2(x) = a·(x^2 - 4)

g2'(2) = a·(2·2) = 2·2 - 8/2^3 --> a = 3/4

g2(x) = 3/4·(x^2 - 4)