Matrizen von verschiedenen Körpern multipliziert. Zeige: Aus A*B=A*C folgt B=C. (oder nicht?)

Question

Zeige oder widerlege:

Es seien m, n, r ∈ N und Kein Körper. Weiter seien Matrizen A ∈ K^(m,n) und B,C ∈ K^(n,r) gegeben.

Aus A*B=A*C folgt B=C.

ich hab so überlegt A= m x n und B= n x r , dadurch ist das Ergebnis von A*B dann m x r.

A= m x n und C= n x r, dann ist des Ergebnis auch m x r.

Dadurch ist dann B=C oder nicht?? weil die beiden Matrizen liegen doch auch im gleichen Körper

Comments

Du solltest präziser formulieren was kein Körper sein soll und eventuell welche Körperaxiome nicht gelten sollen.

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sorry des soll nicht heißen ist kein Körper sondern K ist ein Körper.

und ich brauch doch dafür doch keine Körperaxiome

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Naja, wenn es ein Körper ist gelten eben die Körper Axiome und wenn es kein Körper ist eben nicht.

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aber für was brauch  ich die Körperaxiome?? ich will doch nur zeigen das A*B=A*C  und daraus folgt B=C

und A,B,C sind ja Matrizen

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Körperaximome brauchst Du, um die Matrizenmultiplikation auszuführen.

Answer 1

Nehme für
$$  A=\begin{pmatrix}  1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$  B=\begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$  C=\begin{pmatrix}  2 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Dann gilt
$$ AB=2 $$ und
$$ AC=2 $$
und $$ B\ne C $$

Comments

wieso ist  B ungleich C wenn bei beiden das gleiche Ergebnis rauskommt??

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Gleichheit hängt doch nicht vom erzielten Ergebnis ab sondern von der Form der Matrix \( B \) und  \( C \) und die sind ja offentlich unterschiedlich, oder?

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die Form von B und C ist gleich nur die Zahlen sind anders aber sie bestehen sie aus 2 Zeilen und einer Spalte.

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Ja schon, sonst wäre ja die Multiplikation gar nicht defniert, aber Matrizen sind gleich, wenn alle Elemente übereinstimmen.