Vektoren - Richtungsvektor, Stützvektor etc.

Question

Ich bin bei dem Thema Analytische Geometrie (Vektoren) an einer Stelle nicht wirklich mitgekommen. Es handelt sich hier um den Richtungs- und Stützvektor, welche ja zusammen den Ergebnisvektor bilden. 

Doch wie komme ich auf diese beiden Vektoren an? Muss ich sie errechnen (Formel)?

Answer 1

Du möchtest wahrscheinlich wissen, wie man vorgeht, wenn man so eine Aufgabe bekommt:

Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte Q(2 | 5 | 1) und R(3 | 2 | 2) verläuft.

1. Schritt: Du wählst einen der Punkte als Stützvektor. Ich nehme jetzt z.B. Q als Stützvektor:

Das heißt \( \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix}  \) ist unser Stützvektor.

2. Schritt: Du berechnest den Richtungsvektor, indem du den Stützvektor von dem 2. Punkt P subtrahierst.

Das heißt: R-Q=(3-2 | 2-5 | 2-1) = (1 | -3 | 1)

Also ist unser Richtungsvektor:\( \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix}  \)

3. Schritt: Aufstellen der Geradengleichung mit Stütz- und Richtungsvektor:

\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix} + t · \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \)

Ich hoffe, dass du das jetzt vertsehen kannst.

Vielleicht hilft dir diese Abbildung, damit du dir den Sachverhalt bildlich vorstellen kannst:

Nutze auch den Geoknecht 3D und erstelle eigene Vektoren!

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe AlbertXStein!!! :)

Hat mir auf jeden Fall sehr weitergeholfen. Allerdings ist da noch eine Frage zur Geradengleichung aufgekommen.

Ich habe die Gleichung ein wenig anders gelernt und nehme deshalb mal an, dass t in deinem Fall nur eine andere Schreibweise für Lambda ist, richtig?

Ich bedanke mich nochmal für die schnelle Hilfe :)

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Die Variable ist beliebig wählbar. Ich habe einfach t gewählt. Natürlich kannst du auch Lambda wählen. Diese Variable besagt, wie oft du mit dem Richtungsvektor in diese Richtung gehst. Je größer der Wert der Variable ist, desto länger ist die Gerade (und andersrum).

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Wofür benötige ich denn dann aber die Funktionsgleichung einer Geraden? Und kann ich darauf mit der Geradengleichung die Durchstoßpunkte ermitteln?

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Wenn du mit dem Durchstoßpunkt den Schnittpunkt von zwei Geraden meinst, musst du wie folgt vorgehen, um den Schnittpunkt zu ermitteln:

• Prüfen: Sind die Richtungsvektoren linear abhängig (d.h. ist ein Richtungsvektot ein Vielfaches von dem anderen)?
• Wenn nein (also wenn linear unabhängig): Geraden gleichsetzen (also eine Geradengleichung für \( \vec{x} \) der anderen Geradengleichung einsetzen)
• Das ergibt ein lineares Gleichungssystem. Beide Variablen (also jeweils die Variablen, die vor den beiden Richtungsvektoren stehen) ausrechnen. Bei wahrem Ergebnis (z.B. 1=1) gibt es einen Schnittpunkt, bei unwahrem Ergebnis sind die Geraden windschief.
• Das Ergebnis für diese Variable bei der entsprechenden Geradengleichung einsetzen.
• Ausrechnen, das Ergebnis ist der Schnittpunkt.

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Kann es sein, dass deine Abbildung falsch ist? Ich nehme mal an, du hast x für die horizontale, y für die vertikale und z für die weitere 3te Gerade verwendet. Dann kommt das doch allerdings nicht mir dem Richtungsvektor hin (rot)!?

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Du musst die Abbildung folgendermaßen verstehen:

"O" ist der Ursprungspunkt (d.h.: der Punkt in dem Koordinatensystem, wo wir für x und y den Wert 0 haben)

\( \vec{OQ} \) ist unser Stützvektor, der uns zum Punkt Q auf der Geraden g führt.
Dann haben wir den Richtungsvektor  \( \vec{QR} \) , welcher genau die selbe Richtung haben muss wie die Gerade g.

Die Variable, die wir beliebig wählen durften (bei dir Lambda) sagt uns, wie oft wir mit dem Richtungsvektor in die Richtung "gehen" musst. (Beispiel: Wenn du für die Variable 2 einsetzt, heißt das, dass du nicht wie in der Abbildung mit dem Richtungsvektor einmal in die Richtung zeichnest, sondern 2-mal)

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Nigga Stützvektor und Richtungsvektor sind vertauscht du Läppen

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