Für welche Werte von c ∈ ℝ ist E keine Basis des ℝ^{2}? Welche Untervektorräume ergeben sich?

Question

Aufgabe:

(a) Gegeben ist das Erzeugendensystem \( E=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ c\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}c \\ 1\end{array}\right]\right\} \), wobei \( c \in \mathbb{R} \) ist.

(i) Für welche Werte von \( c \in \mathbb{R} \) ist \( E \) keine Basis des \( \mathbb{R}^{2} ? \)

(ii) Welche Untervektorräume ergeben sich für diejenigen \( c \in \mathbb{R} \), für die \( E \) keine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \) ist?

(b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass \( B=\left\{1, x, x^{2}\right\} \) eine Basis des Vektorraumes \( F_{2} \) aller Polynome in einer Unbekannten vom Grad kleiner oder gleich 2 ist. Mit anderen Worten: Jedes Polynom \( p(x) \) dieses Vektorraumes lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basiselemente darstellen; d. h. \( p(x)=a x^{2}+b x+c \) mit \( a, b, c \in \mathbb{R} \).

(i) Zeigen Sie, dass \( E=\left\{x^{2}-x+2,3 x-4,2 x^{2}+x\right\} \) keine Basis von \( F_{2} \) ist.

(ii) Geben Sie für den von \( E \) erzeugten Untervektorraum von \( F_{2} \) eine Basis an.

(iii) Zeigen Sie, dass \( U=\left\{p \in F_{2} \mid p(x)=(2 a+b) x^{2}+a x+2 b\right. \) mit \( \left.a, b \in \mathbb{R}\right\} \) ein Untervektorraum von \( F_{2} \) ist.

Answer 1

keine Basis, wenn a*(1;c) = (c;1)  also  a=c   und a*c=1   also c=1 oder c=-1
Dann sind die Unterräume  die Vielfachen von (1;1)   oder halt von (1;-1)

(i) es ist 0,5*p2 + (-0,5)*p3 = p1 also sind sie lin.abh.
(i) Basis ist dann p2,p3
(iii) Die kannst du alle durch u*p2+v*p3 mit geeigneten u und v darstellen

Answer 2

a)(i) DET([1, c; c, 1]) = 0 --> 1 - c^2 = 0 --> c = ± 1

(ii) sollte dann nicht schwer sein.

b) (i)

x^2 - x + 2
3·x - 4
2·x^2 + x

III - 2*I

x^2 - x + 2
3·x - 4
3·x - 4

Die beiden unteren Zeilen sind linear abhängig. Damit handelt es sich um keine Basis des F2.

Vielleicht sagst du auch mal womit du genau Probleme hast. Dann kann man dir eventuell einen Tipp geben ohne nur die Lösung vorzuarbeiten?

Comments

Zu a) war mir bewusst, dass ich auf lineare Abhängigkeit überprüfen muss, mir viel nur nicht gleich ein, wie ich da am besten vorgehe. Jetzt wo ich es sehe, ist es mir klar.

Bei b) hatte ich das selbe Problem, klar war dass man auf lin. Abh. Prüft. Aber kam nicht gleich auf die richtige Lösung.