Flächeninhalt von dem Dreieck DEC gesucht!

Question

 

Gegeben: AB = 5,4; ß = 62°; BC = 8

Answer 1

BE = AB* cos 62°

CE = CB - BE

Nun sind DCE und BCA ähnliche Dreiecke (3 gleiche Winkel). Folgerung: Das Verhältnis ihrer Flächen entspricht dem Quadrat des Verhältnisses ihrer Seiten. 

Man kann deshalb erst mal die Fläche von Dreieck ABC berechnen. 
F_ABC = AB * h_c = AB*BC*sin 62°.

Und dann die Fläche F_ABC dividieren durch (BC / EC )^2.

Das kannst du nun bestimmt selbst fertig rechnen.

Comments

Super danke für die Hilfe..

könntest du mir das noch ein wenig genauer erklären auf 10. Klass-Niveau ? :)

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Die Lösung von Lu ist bestimmt die eleganteste Lösung für dieses Problem:

BE = AB * cos(beta) = 5.4 * cos(62) = 2.535 LE (Längeneinheiten)

CE = BC - BE = 8 - 2.535 = 5.465 LE

Im Folgenden Benutze ich das sich die Fläche eines Dreiecks Berechnen lässt nach sws, als das halbe Produkt zweier Seiten und dem Sinus vom eingeschlossenen Winkel.

Fläche ABC = 1/2 * AB * BC * sin(beta) = 1/2 * 5.4 * 8 * sin(62) = 19.07 FE (Flächeneinheiten)

Nach dem Ähnlichkeitssatz verhalten sich Flächenverhältnisse wie das Quadrat der Seitenverhältnisse.

Fläche DEC / Fläche ABC = (CE / BC)^2
Fläche DEC = (CE / BC)^2 * Fläche ABC = (5.465 / 8)^2 * 19.07 = 8.899 FE

Answer 2

1. Lösungsweg:

Um die Fläche in ΔDEC zu berechnen braucht man die Höhe h, hier CF, und die Grundseite g, hier DE, auf der die entsprechende Höhe steht. Die Fläche ergibt sich dann zu: F_ΔDEC = 1/2 * h * g;  (h = CF; g = DE).

Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man sagen:
AB/DE = BC/EC
https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz

DE und EC sind unbekannt. EC lässt sich aber leicht über EC = BC - BE berechnen, wobei BE = AB * cos(62°) ist.

Damit ist die Grundseite: DE = AB / BC * ( BC - AB*cos(62°) ).

Für die Höhe CF gilt:          CF = EC*cos(62°) = ( BC - AB*cos(62°) ) *cos(62°).

Die Fläche ist also:      F_ΔDEC = 1/2 * AB / BC * ( BC - AB*cos(62°) ) * ( BC - AB*cos(62°) ) *cos(62°).

 

2. Nun zu Lus Lösungsansatz:

Für die Flächen der Dreiecke gilt (zur Erinnerung: die Fläche im Dreieck ist  1/2 mal Grundseite mal Höhe)

F_ΔABC = 1/2*AB*BC*sin(62°)
F_ΔDEC = 1/2*DE*CE*sin(62°)

Wenn man nun F_ΔABC durch F_ΔDEC teilt, dann erhält man

F_ΔABC / F_ΔDEC = [1/2*AB*BC*sin(62°)] / [1/2*DE*CE*sin(62°)]
kürzen ...
F_ΔABC / F_ΔDEC = [AB*BC] / [DE*CE];  [1]

Mit Hilfe des Strahlensatzes findet man (siehe oben):
AB/DE = BC/EC
Damit kann man in [1] AB/DE durch BC/EC ersetzen und erhält für das Flächenverhältnis:
F_ΔABC / F_ΔDEC = [BC/EC]^2

F_ΔDEC = F_ΔABC / [BC/EC]^2

Nun müsstest Du noch einsetzen ...

 

Hoffe meine Erklärung ist nachvollziehbar. Wenn nicht --> Kommentar  (Je nachdem von wem Du  eine Antwort willst, musst Du auch die jeweilige Antwort kommentieren, sonst bekommt der/die Betreffende keine Benachrichtigung und kann nicht reagieren.)