Wie löse ich die beiden Bruchgleichungen auf?

Question

Wie löst man die beiden folgenden Bruchgleichungen?

Aufgabe 1:

$$ \frac { 2 } { x - 2 } - \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 3 } { x } = \frac { 3 x ^ { 2 } + 4 x - 8 } { x ( x + 1 ) ( x - 2 ) } $$

Aufgabe 2:

$$ \frac { x + 2 } { x - 3 } - \frac { x + 1 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x - 1 } { ( x - 3 ) ( x - 1 ) } $$

Answer 1

Obwohl hier ja einige eifrige Verfechter des gemeinsamen Nenners unterwegs sind, würde ich immer die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner malnehmen!

In der ersten Aufgabe nimmst du also direkt im ersten Schritt mit x*(x+1)*(x-2) mal!
Das bedeutet schonmal: falls als Lösung 0, -1 oder 2 rauskommt, dann sind das eigentlich keine Lösungen, weil die Gleichung dafür nicht definiert ist.

Auf der rechten Seite kann man dann den kompletten Nenner kürzen, links fällt immer ein Faktor weg.

$$ \frac { 2 } { x - 2 } - \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 3 } { x } = \frac { 3 x ^ { 2 } + 4 x - 8 } { x ( x + 1 ) ( x - 2 ) } \quad |·x·(x+1)·(x-2) $$

x*(x+1)*(x-2) * (2/(x-2) - 1/(x+1) + 3/x) = 3x²+4x-8

x*(x+1)*2 - x*(x-2)*1 + (x+1)*(x-2)*3 = 3x²+4x-8

2*(x²+x) - (x²-2x) + 3*(x²-x-2) = 3x²+4x-8

4x²+x -6 = 3x²+4x-8

x²-3x+2 = 0

x_1/2 = 1,5 ± √(1,5²-2) = 1,5 ± √(2,25-2) = 1,5 ± √0,25

x₁ = 2

x₂ = 1

2 hatten wir bereits vorher als Lösung ausgeschlossen, da der Nenner dann nicht definiert ist!

Die einzige Lösung ist also x=1.

Am Besten probierst du die zweite Aufgabe einmal selbst zu lösen - das Verfahren ist genau das gleiche! Falls du noch Fragen hast, nicht weiterkommst oder einen Schritt meiner Rechnung nicht verstehst, dann sag Bescheid.

Es gibt hier auch ein allgemeines Video zu Bruchgleichungen:

https://www.youtube.com/watch?v=ddRb_FGbR0A

Answer 2

Auch hier ersteinmal den Hauptnenner  bestimmen, bei aufgabe 1 ist es x*(x+1)*(x-2)

Der Zähler sieht dann so aus

2*(x*(x+1))-1(x(x-2))+3*(x+1)*(x-2)=3x³+4x-8  | klammern auflösen

                  2x²+2x-x²+2x+3x²-3x-6=3x²+4x-8   |Sortieren

                                          4x²+x-6=3x²+4x-8    | alles auf eine Seite bringen

                                           x²-3x+2=0

                     ⇒                 (x-2)*(x-1)=0             x₁=1 und x₂=2

bei der zweiten aufgabe gilt das gleiche Verfahren  der Hauptenner ist (x-3)*(x-1)

der Zähler ist dann

(x+2)*(x-1)+(x+1)*(x-3) =x²+2x-1              |klammern auflösen

    x²-x+2x-2+x²-3x+x-3=x²+2x-1              |Sortieren

                       2x²-x-5=x²+2x-1                 | auf eine Seite bringen

                        x²-3x-4=0

Hier nun die pq formel anwenden

x_1,2=3/2 ±√(3/2)²+4

x_1,2=3/2±5/2      x₁=-1    x₂=4

Zur Sicherheit kann man auch noch die Probe machen. – Bei der esten Aufgabe hat Julian Mi recht, dass die Lösung x=2 nicht definiert ist. Das kommt davon, wenn man nur noch den Zähler betrachtet.

Answer 3

Zur 2. Aufgabe. Von Anfang an ist ablesbar: x≠1 und x≠3

Mit Hauptnenner multiplizieren.

(x+2)(x-1)-(x+1)(x-3)=x² +2x -1

x² + x-2 -(x^2-2x-3) = x² + 2x -1

x² + x - 2 -x²+2x+3 = x² + 2x -1

3 x+1 = x² + 2x -1

0=x² -x-2                   |direkt faktorisieren oder pq-Formel

0=(x-2)(x+1)

x₁=2, x₂=-1

Probe: Einsetzen eigentlich nicht nötig, wenn man richtig gerechnet hat. Dennoch:

$$ \frac { x + 2 } { x - 3 } - \frac { x + 1 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x - 1 } { ( x - 3 ) ( x - 1 ) } $$

x=2:        -4 -  3 = 7/-1       stimmt

x=-1:      1/-4         - 0         = -3/((-4)(-3))              stimmt