Sind die rationalen Zahlen eine offene oder eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen?

Question

Siehe oben.
Könnt auch gerne Stichpunkte/ Tipps geben.

Answer 1

offen hieße ja:   um jede rationale Zahl p kann man eine epsilon-Umgebung legen
] p-eps; p+eps[ die nur aus rationalen Zahlen besteht.
Geht nicht, da zum Beispiel p+1/4*wurzel(2)*eps darin liegt, aber irrational ist.

aber abgeschlossen hieße ja:    Das Komplement ist offen.
Das Komplement der rat. Zahlen sind die irrationalen.
Diese Me. ist aber auch nicht offen, denn in jeder eps-Umgebung einer irrat. Zahl
liegen auch rat. Zahlen

also weder noch

Comments

Bin echt verwirrt , denn Wikipedia sagt folgendes:

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die Menge der rationalen Zahlen  mit  bildet eine abgeschlossene Menge in denrationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen mit der Standardtopologie. Dies folgt daraus, dass es Folgen mit rationalen Folgengliedern gibt, die zu einer Zahl außerhalb der rationalen Zahlen konvergieren.

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ia121: In der Überschrift wurden als Grundmenge die reellen Zahlen angegeben.