Brauche hilfe bei der Ableitung von f(x):=log(tan(x/2))

Question

Ich soll die Ableitung von $$ f\left( x \right) :=\log { (tan\frac { x }{ 2 } ) } $$. Beweisen.

Die Ableitung ist schon gegeben:
$$f'\left( x \right) :=\quad \frac { 1 }{ sin\quad x } $$.

Komme leider nicht sehr weit. Würde das mit der Kettenregel machen aber da kommt am Ende 1/tan(x/2) +1/(cos(x)+1 ) raus.

Answer 1

Komme leider nicht sehr weit. Würde das mit der Kettenregel machen aber da kommt am Ende 1/tan(x/2) +1/(cos(x)+1 ) raus.

ln( tan (x/2) ableiten

1 / tan(x/2) * abl von tan(x/2)
letztere ist  1 / cos^2 (x/2) * 1/2   letzteres * 1/2, weil wieder Kettenregel

also insgesamt

(1 / tan(x/2)) * (1 / cos^2 (x/2)) * 1/2 
nun ist ja tan(x/2) = sin(x/2) / cos( x/2)
wenn du das einsetzt und kürzt, gibt es
1 / ( 2*sin(x/2)*cos(x/2)  )
und da siehst du leicht mit dem Additionstheorem auf sin(x/2 + x/2) angewandt,
dass dies
1 / sin(x) ist.

Comments

Alles Klar.
Vielen Dank

Answer 2

Hi.

Kettenregel richtig angewendet ergibt:

$$ f'(x) = \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})}\cdot \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}=\frac{1}{\sin(x)}$$

für das letzte Gleichheitszeichen wird das Additionstheorem \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) verwendet.

Gruß