Für alle \(m,n\in\mathbb N\) mit \(m>n\) gilt$$\begin{aligned}\vert a_m-a_n\vert&=\left\vert\sum_{k=n}^{m-1}\left(a_{k+1}-a_k\right)\right\vert\le\sum_{k=n}^{m-1}\left\vert a_{k+1}-a_k\right\vert\le\sum_{k=n}^{m-1}q^k\le\sum_{k=n}^\infty q^k\\&=\sum_{k=0}^\infty q^k-\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\frac1{1-q}-\frac {1-q^n}{1-q}=\frac {q^n}{1-q}.\end{aligned}$$Daraus folgt die Behauptung nach dem Cauchy-Kriterium.
