Verfahren zur Bestimmung der Anzahl von Lösungen von Linearen Gleichungssystemen, wenn Lösung nicht eindeutig

Question

Heute kam eine Nachfrage beim neuen LGS-Rechner, ob nicht auch die Anzahl der Lösungen (sofern die Unbekannten nicht definiert sind) angezeigt werden könnte. Also:

A - unendliche viele Lösungen (Bsp. LGS-3)

B - keine Lösung

Ich habe auf die Schnelle nur die Bestimmung über die erweiterte Koeffizientenmatrix gefunden, scheint mir jedoch nicht so einfach als Code umzusetzen.

Daher die Frage: Wer kennt weitere Verfahren, um die Lösungsanzahl von beliebigen LGS mit 2 bis 5 Unbekannten bestimmen zu können?

Danke,
Kai

Comments

Welches Vefahren benutzt Du denn beim Online-Löser, wenn nicht den Gauss-Algorithmus?

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Die Cramersche Regel, vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel auch "Determinantenmethode" genannt.

Aber ich überlege auch schon, das Gaußverfahren einzusetzen, um die Gleichungen auf die notwendige Form zu reduzieren.

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Der Vorteil bei Gauss ist halt , dass Du damit im Grunde ja sowieso auch den Rang der Koeffizientenmatrix (A) bestimmst und damit Aussagen zur Lösbarkeit treffen kannst. Bei Dim(A) <= 5 sollte der Rechenaufwand auch nicht zu groß werden ;)

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Die Determinanten-Variante sollte doch aber auch funktionieren, oder? Du kannst halt Sarrus nicht benutzen und müssest die Determinanten entwickeln... Ist auch Schleifenprogrammiererei,sollte aber gehen...

Aufwendig ist beides...

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Viele Taschenrechner nutzen ja auch die Determinantenmethode. Alleine weil das sehr einfach zu programmieren ist. Den Gauss nachzubilden ist alleine wegen der Abfragen schon immer etwas aufwendiger. Hat z.B. die erste Zeile vorne eine 0 stehen dann muss man erst tauschen.

Der Vorteil ist beim Gauss, dass man nachher auch Gleichungssysteme lösen kann in Abhängigkeit mehrerer Variablen. Sollte man also mehrere Freiheitsgrade besitzen.

Allgemein gilt: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix Null kann es unendlich viele oder keine Lösung geben. D.h. man bräuchte nur für diese Fälle den Gauss eventuell durchspielen.

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Ich habe das Gaußverfahren gewählt und "filtere" je Zeile jeweils die Unbekannten heraus, so komme ich auf die letzte Zeile der Matrix, die ich dann mittels dieser Regeln prüfen kann.

Die umgesetzte Version steht online zur Verfügung. Beispiel LGS 3 mit unendlich vielen Lösungen.

Schöne Grüße
Kai

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Der Link zu WolframAlpha ist durchaus nützlich, da ja meist nach der Lösungsmenge gefragt ist. Und WolframAlpha liefert eine mögliche Parametrisierung.