Funktion kritische Stelle, Monotonie, limes; was größer ist pi^e oder e^pi

Question

Wir betrachten die Funktion f : (0,∞) → ℝ, x ↦ x^1/x

a) Beweisen Sie, dass f nur eine kritische Stelle besitzt. Finden Sie diese Stelle x₀.

b) Beweisen Sie, dass f streng monoton wachsend auf (0, x₀) ist und streng monoton fallend auf (x₀, ∞) ist.

c) Was ist größer? e^π oder π^e?

d) Beweisen Sie, dass lim f(x) = 0 und lim f(x) = 1 ist
                                           x → ∞                x → ∞

Ich weiß nicht, wie ich das lösen soll....

Bei c) ist e^π größer...

 

Comments

c.) Taschenrechner
e^{π} = 23.14
π^e = 22.46

Answer 1

zu c) Das sollte vermutlich ohne Taschenrechner begründet werden,

etwa so:

Ausgehend vom Vergleich der Tangente bei x=0

an den Graphen von e^x hat man:

e^x > 1+x für alle  x größer Null.

Setzen wir x = pi/e - 1, dann ergibt sich

e^{pi/e-1} > pi/e.

Multiplizieren wir mit e, so folgt e^{pi/e} > pi,

und nehmen wir beide Seiten hoch e, so gibt das

(e^{pi/e})^e > pi^e

alos e^pi > pi^e

bei d) würde ich auch intensiver argumentieren, etwa

wie bei Georgs Lösung zu a)

f(x) = e^ln(x)/x   und im Exponenten ist das ja für x gegen unendlich

ln(x) / x ein Gw. von der Form unendlich durch unendlich.

Dann ist nach d'Hospital der GW der gleiche wie bei

1/x   /  1   also für x gegen unendlich die Null und

wegen e^0 = 1 ist also der GW von f für x gegen unendlich gleich 1.

Für x gegen 0+ ist ln(x) / x = ln(x) * (1/x) ein Gw. von der Form  - unendlich * + unendlich

und das gibt für den Exponenten einen GW von - unendlich und

insgesamt also den GW 0.

Comments

zu c) Das sollte vermutlich mit dem Ergebnis von Aufgabenteil b begründet werden,

etwa so:

Wegen π ≠ x₀ = e  folgt  f(π) < f(e) ,  also  ^π√π < ^e√e . Potenzieren mit π und mit e  liefert  π^e < e^π .

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Prima Idee !

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Kann mir jemand den teil d nochmal ausführlich erklären?

Answer 2

Wir betrachten die Funktion f : ] 0,∞ [ → ℝ, x ↦ x^1/x

a) Beweisen Sie, dass f nur eine kritische Stelle besitzt. Finden Sie diese Stelle x₀.
" Kritische Stelle " = Punkt mit waagerechter Tangenete ( Extrempunkt, Sattelpunkt )

Die Funktion hat bei x = e eine waagerechte Tangente.

b) Beweisen Sie, dass f streng monoton wachsend auf (0, x₀) ist und streng monoton fallend auf (x₀, ∞) ist.
Monotonie steigend für x < e.

c) Was ist größer? e^π oder π^e
siehe meinen Kommentar.

d) Beweisen Sie, dass lim f(x) = 0 und lim f(x) = 1 ist
                                           x → ∞                x → ∞

In der Frage soll es wohl zuerst heißen
lim x −> 0(+)   [ x^{1/x} ] ( 0^{∞} ) = 0
lim x −> ∞       [ x^{1/x} ] ( ∞^0) ) = 1