Winkelabhängigkeit! Ellipsendurchmesser?

Question

ich habe in AutoCAD eine Ellipse erzeugt(siehe Anhang) und ein Abstandsmaß(2-Punktdurchmesser)ermittelt(204,4139).

Ich benötige nun die winkelabhängige Formel des Ellipsendurchmessers (für dieses Zweipunktmaß), damit ich das mathematisch gegenrechnen kann.

 

Ich bin auf eure Antworten echt gespannt!

Danke für die Mühe im Voraus und frohe Weihnachten!

 

Gruß

Answer 1

Die Ellipse hat die Gleichung
x^2 / 105^2 + y^2 / 95^2 = 1  und
für den Punkt(x/y) im 1. Quadranten gilt tan(30°)=y/x, also 1/3 = y^2/x^2 bzw. x^2= 3*y^2.
eingesetzt gibt das
3y^2 / 105^2 + y^2 / 95^2 = 1
y^2*( 3/105^2+1/95^2)=1 also y^2 = 1 / ( 3/105^2+1/95^2)
Das gibt y ungefähr 51,10 und mit tan(30°) =y/x gibt das x ungefähr 88,5
mit Pythagoras bekommst du dann die Strecke von 0 nach P mit etwa 102 heraus,
also dein gesuchter Durchmesser wie nagezeigt etwa 204.
Geht natürlich auch genauer.

Comments

Vielen Dank für die schnelle und professionelle Hilfe :-)

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Hi,
ich hätte da doch noch eine kleine Frage bzw. Bitte. Ich habe Schwierigkeiten, deine Rechnung nachzuvollziehen, könntest du mir die Berechnung freundlicherweise in ein Excel-Datenblatt übertragen, bitte?

Ich hoffe, meine Frage ist nicht allzu frech

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Betrachte es als Weihnachtsgeschenk.

Frohes Fest und alles Gute.ellipse.xlsx (11 kb)

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vielen, vielen lieben Dank!
Es ist wahrlich ein Geschenk :-)

Gruß

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ich habe eine Ergänzung zur Aufgabenstellung erhalten:

Die exakte Formel für den Gaußdurchmesser einer Ellipse wäre dann einfach das doppelte Integral der in Abhängigkeit vom Winkel berechneten Radien, geteilt durch dasselbe Integral über 1 (=2Pi?). [Tipp: Um die gesuchte Integralformel für den Gaußdurchmesser aufzustellen, muss Ihre Radiusformel für die Ellipse in Polarkoordinaten transformiert werden.

Ich hoffe nun, Mathef, du kannst mir die Formel dazu erstellen!?

Danke &Gruß& guten Rutsch ins neue Jahr

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Hallo Mathef,

könntest du mir bitte deine Formel weiter einkürzen?

Danke für die Mühe im Voraus

Gruß

Venue

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meinst du diese

y² = 1 / ( 3/105²+1/95²)

y^2 = 3675/3676

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ja, aber inklusive Pythagoras. Wenn es möglich ist, dann hätte ich gerne eine geschlossene Formel bis zum Ergebnis(in diesem Fall ist das die 204).

Danke &Gruß

Venue

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dann aber nicht nur für 30° sondern allgemein für alle Winkel ?

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Ja, genau !

Danke&Gruß

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Es ließ sich noch erstaunlich vereinfachen:

wenn a der Winkel ist, dann ist

d = 3990 / wurzel( 80* sin(a)^2 + 361 )

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ich habe es gerade in Excel aufbereitet und scheine irgendetwas falsch zu machen, bei mir kommt 807,...als Ergebnis.

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Ich habe dir einmal die Datei   ellipse.xlsx (11 kb)  angehängt

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Also ging es dir nicht nur um die eine spezielle Ellipse, sondern

um alle möglichen.

Jetzt stimmt es wohl, jedenfalls für Winkel von 0° bis 90°

Für andere Werte liegen die Punkte ja in anderen

Quadranten, die Diagonallänge stimmt aber wohl.ellipse_ok.xlsx (11 kb)

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Danke erst mal für deine Mühe und deine Geduld!

Du, sag mal,kannst du mir auch die Formel für den 2.,3.und 4. Quadranten nennen?

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Die Ellipse hat die Gleichung
x² / 105² + y² / 95² = 1  und
für den Punkt(x/y) im 1. Quadranten gilt tan(30°)=y/x, also 1/3 = y²/x² bzw. x²= 3*y².
eingesetzt gibt das
3y² / 105² + y² / 95² = 1
y²*( 3/105²+1/95²)=1 also y² = 1 / ( 3/105²+1/95²)
Das gibt y ungefähr 51,10 und mit tan(30°) =y/x gibt das x ungefähr 88,5
mit Pythagoras bekommst du dann die Strecke von 0 nach P mit etwa 102 heraus,
also dein gesuchter Durchmesser wie nagezeigt etwa 204.
Geht natürlich auch genauer.

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Danke für die Mühe im Voraus& Gruß

Venue

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Ich habe es mal bis 360° in die Tabelle eingebaut.

Musst du mal prüfen, aber ich glaube, dass es in allen 4 Quadr. stimmt.ellipse_ok.xlsx (11 kb)

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Na sag mal, wie genial bist du denn?!

Vielen lieben Dank, ich ziehe meinen Hut.

Gruß

Venue

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Danke, ich helfe gern.