Kurvendiskussion mit e-Funktion: f(x) = x^2 * e^x

Question

wäre sehr dankbar, wenn mir jemand zu dieser Aufgabe kurz helfen könnte. Hab das meiste schon gerechnet, bin mir aber noch unsicher ob das wirklich stimmt.

Führen Sie für die Funktion f mit f(x) = x² * e^x eine Kurvendiskussion durch und stellen Sie f über dem Intervall [-6; 1] grafisch dar.

1. Definitionsbereich: D = R, weil es eine Exponentialfunktion ist?

2. Nullstellen: habe nur eine Nullstelle gefunden bei x=0

3. Lage der Extremwerte: habe P1(0|0) und P2(-2|4/e²) raus

4. Art der Extremwerte: Minimum bei P1, Maximum bei P2 und muss die Existenz von Sattelpunkten ausschliessen, wie mache ich das?

5. Lage der Wendepunkte, Sattelpunkte: habe keine Ahnung vom Sattelpunkt, wie kann ich das prüfen? Hab schon mal die x-Werte berechnet x=-2+√2 und x=-2-√2, komme nicht mehr weiter

6. Funktionswerte der markanten Punkte (3 bis 5): steh auf dem Schlauch xD

7. Grafische Darstellung: hab ich hinbekommen :)

Vielen Dank für die Mühe

Answer 1

Okay:

1. Richtig.Die Funktion ist auf ganz R definiert.

2. Nullstellen sind die Nullstellen von x^2 (da e^x niemals = 0) .Also auch richtig.

3. Habe ich auch raus.

4. Richtig . Für einen Sattelpunkt gilt f'(x) = 0 und f''(x)= 0 und f'''(x)≠ 0 . Da du bereits alle Extrema berechnet hast( f'(x)= 0 ) und durch einsetzen in die zweite Ableitung gesehen hast ,dass diese jeweils Minimum und Maximum sind also :  f''(x) >0 und f''(x) < 0  hast du mögliche Sattelpunkte somit schon ausgeschlossen.

5. Für einen Wendepunkt gilt zweite Ableitung = 0 und dritte Ableitung ≠ 0 .Die Werte hast du doch schon berechnet , musst sie nurnoch in die dritte Ableitung einsetzen und dann schauen obs ungleich 0 ist.

6. Damit sind denke ich mal die y-Werte gemeint die du berechnet hast. Also quasi den berechneten x Wert für das Minimum in f(x) einsetzen.

Grüße,
Marvin