Geradengleichung angeben: Gerade geht durch Punkt P(-1|0) und schneidet Graphen f an Stelle x=3

Question

Aufgabe: "Eine Gerade durch den Punkt P( -1 | 0 ) schneidet den Graphen f an der Stelle x=3. Geben Sie die Geradengleichung und die Größe des Schnittwinkels an."

Letzte Mathe-Stunde war ich krank und es wär toll, wenn ihr mir erste Impulse geben könntet, wie man die Aufgabe lösen könnte. Wahrscheinlich muss man etwas ableiten und auf f(x)=o setzten (so in der Art), doch weiß ihc nicht, wie ich anfangen soll. 

Comments

Gegeben ist noch die Funktion:

ƒ(x) = -½x²+2x+2 

Answer 1

Geradengleichung bestimmen:

Du kennst dich mit der Normalform der linearen Funktion bereits aus? Wenn nicht, siehe Mathevideo auf der Seite.

Du brauchst also eine Funktionsgleichung der Form: f(x) = m*x + n

Informationen aus deiner Aufgabe:

"Eine Gerade durch den Punkt P( -1 | 0 )"→ g(-1) = m*x + n = 0

"schneidet Graphen f mit der Funktionsgleichung f(x) = -½x²+2x+2 an Stelle x=3."
→ f(3) = -½*3²+2*3+2 = -4,5+8 = 3,5

Wir kennen also 2 Punkte: P₁(-1|0) und P₂(3|3,5). Jetzt kannst du die Funktion aus 2 Punkten ermitteln! Siehe Erklärungen hier im Mathe-Forum oder Video Teil 2 (nicht kostenfrei).

Durch die Punkte erhältst du:
y-Distanz / x-Distanz = 3,5 : 4 = 0,875, also m = 0,875

Dann noch m und einen der Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen:
g(x) = m*x + n = y
g(-1) = 0,875*(-1) + n = 0
0,875*(-1) + n = 0    |+0,875
0,875*(-1) + n = 3,5    |+0,875
n = 0,875

Die fertige Funktionsgleichung: g(x) = 0,875*x + 0,875

Grafik des Funktionsgraphen mit gemeinsamen Schnittpunkt P(3|3,5) und Nullstelle für g bei P(-1|0):

 

Answer 2

Du suchst eigentlich die Tangente an die Funktion f.

Diese hat die Gleichung y =mx + q

ƒ(x) = -½x²+2x+2

Für den Berührungspunkt kannst Du die Ypsilons einander gleichsetzen:

-½x²+2x+2 = mx + q

Im Berührungspunkt ist ausserdem die Steigung gleich:

f'(x) = m

x + 2 = m

Das kannst Du für m einsetzen:

-½x²+2x+2 = x²  + 2x + q

In die Tangentengleichung kannst Du noch den bekannten Punkt der Geraden einsetzen, dann erhältst Du

0 = -m + q

q=y-Achsenabschnitt = m

Daraus folgt: -½x²+2x+2 = x²+2x+x +2= x²+3x+2

Diese Gleichung auf die Form ax²+bx + c = 0 bringen und dann mit der Formel für quadr. Gleichungen lösen.

Comments

Oops, ich habe die Frage nicht richtig gelesen. Meine Lösung ist falsch.

Answer 3

Mit der Ableitung kommst du auf die Steigung der Kurve an der Stelle x=3, indem du in der Ableitung von f(x) für x 3 einsetzt. Der Steigungswinkel der Kurve ergibt sich als arctan der Steigung. 

Das ist offenbar gerade aktuell und ich nehme an, dass du damit kein Problem hast.

Jetzt brauchst du noch den Steigungswinkel der Geraden.

Du kannst einen zweiten Punkt auf der Geraden berechen. Daraus die Steigung der Geraden. Wiederum kannst du den Steigungswinkel als arctan der Steigung berechnen.

Für den Schnittwinkel subtrahierst du die beiden Steigungswinkel voneinander. Wenn eine Zahl über 90° rasukommt, solltest du 180° - diese Zahl rechnen, damit der Schnittwinkel zwischen 0 und 90° liegt.

Berechnung des 2. Punktes auf der Geraden und der Steigung der Geraden:

P(-1/0) erster Punkt auf der Geraden.

Zweiter Punkt auf der Geraden Q(3/y_Q) liegt auf:

ƒ(x) = -½x²+2x+2 

3 einsetzen y_Q= f(3) = -0.5*9 + 6 + 2 = 3,5. --------> Q(3/3,5)

Steigung m= (3,5-0)/(3-(-1)) = 3,5/4=0.875.    Steigungswinkel arctan(0.875)=41,1859°

Zum Schluss die beiden Winkel zusammen verrechnen.

 

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Habe vergessen, dass du auch die ganze Geradengleichung brauchst.

Ansatz:

y=0,875x+q

P einsetzen.  0=-0,875+q            -------------> q=0,875  

Geradengleichung y=0,875x + 0.875