Deiche: Länge des Rohrs und der Strecke innerhalb der Sandschicht. (Abitur-Training)

Question

Ein Deich ist ein Schutzwall gegen das Meer mit einer steilen Böschung zur Landseite und einer flacheren Boschung an der Seeseite, so dass die auflaufenden Wellen ihre $\mathrm{Kraft}$ verlieren.

Ältere Deiche an der Nordseeküste haben ein Deichprofil, dessen form auf einem bestimmten Deichabschnitt näherungsweise dem Graphen der Funktion $f_{1}$ entspricht mit

$f_{1}(x)=\frac{1}{3 t} x(x-3 t)^{2} ; t \geq 1$

und einem geeigneten Definitionsbereich. Dabei beschreibt die negative $x$-Achse im Koordinatensystem den Veriauf des Lands hinter dem Deich, die positive $x$-Achse die Deichsohle und die Meeresoberfläche.

Der abgebildete Graph zeigt das Deichprofil für $t=2$.

d) Von der Deichkrone aus soll ein unterirdisch verlaufendes, gerades Entwässerungsrohr bis zum Punkt $\mathrm{O}(0 \mid 0)$ verlegt werden.

(1) Bestimmen Sie die Länge dieses Rohrs sowie die Länge der Strecke, für die das Rohr innerhalb der Sandschicht verläuft.

(2) Bestimmen Sie die Stelle auf dem Deich, an der der senkrecht zur Meeresoberfläche gemessene Abstand zum Rohr am größten ist.

Ansatz/Problem:

Ich muss die Länge wahrscheinlich mit Pythagoras ausrechnen.

Answer 1

Der Hochpunkt ( Deichkrone ) ist bei t .
f ( t ) = 1 / (3t) * t * ( t - 3*t)²
f ( t ) = 1/3 * ( -2t )²
f ( t ) = 4/3 * t²

Länge des Rohres ( Pythagoras )
l = √ ( t² + (4/3*t²)² )

In der Lösung steht: √t²+16/9t⁴

Comments

Ich habe hier die Lösung:

d) Die Verbindungsgerade vom lokalen Maximum in $\left(\mathrm{t} / \frac{4}{3} \mathrm{t}^{2}\right)$ zum Koordinatenursprung hat die Steigung $m=\frac{\frac{4}{3} t^{2}}{t}=\frac{4}{3} t$, die Gerade demnach die Gleichung $g_{t}(x)=\frac{4}{3} t \cdot x$.

(1) Die Länge des Rohrs berechnet sich nach dem Satz ven Pythagoras $l_{1}=\sqrt{t^{2}+\frac{16}{9} \mathrm{t}^{2}}$.
Gesucht ist außerdem der Schnittpunkt der Geraden $g_{t}(x)$ mit der Profilkurve des Sand-Deiches:

$0,8 \cdot\left(\frac{1}{3 t} x^{3}-2 x^{2}+3 t x\right)=\frac{4}{3} t x \Leftrightarrow \frac{4}{15 t} x^{3}-\frac{8}{5} x^{2}+\frac{12}{5} t x=\frac{4}{3} t x \Leftrightarrow$
$\frac{4}{15 t} x^{3}-\frac{8}{5} x^{2}+\frac{16}{15} t x=0 \Leftrightarrow x \cdot\left(\frac{4}{15 t} x^{2}-\frac{8}{5} x+\frac{16}{15} t\right)=0 \Leftrightarrow$
$x=0 \vee x^{2}-6 t x+4 t^{2}=0 \Leftrightarrow x=0 \vee(x-3 t)^{2}=5 t^{2} \Leftrightarrow$
$x=0 \vee x=(3+\sqrt{5}) \cdot t=5,24 \cdot t \vee x=(3-\sqrt{5}) \cdot t=0,764 \cdot t$

Die hier in Frage kommende Schnittstelle ist $x \approx 0,764 \mathrm{t}$ (da sie im Intervall $[0 ; t]$ ) liegen muss).

Die zugehörige $y$-Koordinate berechnen wir am einfachsten mithilfe der Geradengleichung: $g_{t}(0,764 t)=1,019 t^{2}$

Die Länge des Rohrs, das im Sand liegt, ist demnach:
$I_{2}=\sqrt{(0,764 t)^{2}+\left(1,019 t^{2}\right)^{2}} \approx \sqrt{0,584 t^{2}+1,038 t^{4}}$

Dort steht bei d1 das nur die eine schnittstelle in frage kommt weil es  intervall 0: t liegt. Woher weiss ich denn das diese zahl in dem intervall liegt? Ich meine das intervall geht bis t und ist somit doch gar keine Zahl? Woher weiss ich das dann?

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Die Lösungen für die Schnittpunkte sind
x = 0
x = 0.764 * t
x = 5.24 * t

In ersten Bild ist der Deich für t = 2 zu sehen.
Die rote Kurve darunter ist der Sanddeich.
Der Schnittpunkt Sanddeich / Rohr liegt bei
0.764 von t, also im Intervall [ 0 ; t ]

Dies gilt für jedes t.
0  <  0.764 * t  <  t

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Achso also setze ich für t einfach 2 ein?

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Die Lösung gilt nicht nur für t = 2 sondern gilt für alle t.

Hmm aber woher weiss ich denn das es nicht 5,24 t ist? Ich wusste nicts welches ich nehmen musste: 0

Der Deich endet rechts bei ca 3 * t.
Der Schnittpunkt 5.24 * t würde außerhalb des
skizzierten Deichs liegen.

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Differenzfunktion:

$\begin{aligned} d_{t} &(x)=f_{t}(x)-g_{t}(x) \\ &=\frac{1}{3 t} x^{3}-2 x^{2}+3 t x-\frac{4}{3} t x \\ &=\frac{1}{3 t} x^{3}-2 x^{2}+\frac{5}{3} t x \\ d t^{\prime}(x) &=\frac{3}{3 t} x^{2}-4 x+\frac{5}{3} t \\ &=\frac{x^{2}}{t}-4 x+\frac{5}{3} t \end{aligned}$

Notwendige Bedingung:

$\begin{array}{l} d t^{\prime}(x)=0 \\ \frac{x^{2}}{t}-4 x+\frac{5}{3} t=0 \\ x^{2}-4 t x+\frac{5}{3} t^{2}=0 \end{array}$

Wie rechne ich bei d2 an dieser Stelle weiter?

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Eine allgemeine Antwort.

Falls du etwas für dein Matheabitur tun willst dann geh nach
einem Buch vor in dem Aufgaben und der Lösungsweg
bereits angegeben sind.

Dann kannst du diesen, bei Bedarf, direkt nachvollziehen.
Ich denke über das Internet geht es nicht so effektiv.

Auf der bayerischen Internetseite sind die Aufgaben und die
Lösungen vorhanden.
Diese kannst du beide ausdrucken und verwenden.
Und sogar teilweise ein Video.

Ein gutes neues Jahr und gute Nacht.

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Das hier ist ein Buch mit Lösungen. Ich gehe selbstverständlich nach den Lösungen und versuche nachzuvollziehen, jedoch klappt es nicht immer, da es manchmal einfach zu kompliziert ist und ich es deshalb  nicht nachvollziehen kann. Daher frage ich nach, wenn es in den Lösungen nicht deutlich genug erklärt wird.

Ich habe selber noch genug Aufgaben. Mir bringen Lösungen nichts, wenn ich nicht verstehe, wie man darauf kommt.

Daher ist das mit dem "nachvollziehen" leichter gesagt als getan. Manchmal gehts einfach nicht. Dann sitzt man Stundenlang dran und kommt nicht weiter.

Ich hoffe mal, dass mir wenigstens noch jemand anderes hilft und mir die Frage beantwortet.

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Deine Schwierigkeit ist die Handhabung von t.
Für t = 2 kommen nur numerische Werte heraus.
Für ein allgemeines t kommen meist auch nur Ergebnisse
heraus bei denen ein t  vorkommt. Wie auch hier.

Weiterführung deiner handschriftlichen Berechnung.

x² - 4 * t * x + 5/3 * t² = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung

( Die Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat ist die quadratische Ergänzung )
x² - 4 * t * x + ( 2 * t )² = - 5/3 * t² + 4t²
( x - 2 * t )² =  7/3 * t²
x - 2 * t = ±√ ( 7 / 3 * t² ) = ± t * √ ( 7 / 3 )
x - 2 * t = ± t * √ ( 7 / 3 ) + 2 * t
x = t * ( 2  ± √ ( 7 / 3 ) )
x = t * ( 2  ± 1.53 )

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Kann man das auch ohne quadratische ergänzung machen? Also Nur mit pq-Formel?

Kenne mich  damit ( quad. Ergänzung) nicht wirklich aus, bin quereinsteiger

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kein Scherz : ich bin auch Quereinsteiger. Ich kenne zwar die pq-Formel,
habe diese aber nicht verinnerlicht, da ich immer mit der quadr. Ergänzung
arbeite die ich von früher kenne.

Lösungsmöglichkeiten mit
- quadratische Ergänzung
- pq-Formel
- Mitternachtsformel

Wenn du die pq-Formel kennst müßtest du diese auf diesen Fall aber
eigentlich anwenden können.

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Echt??? Das ist ja witzig.

Werde versuchen , es anzuwenden . Melde mich dann.

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x²+px+q = 0

x = - p/2 ±√ ( (p/2)² - q )

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Habe ea versucht, aber Fehlanzeige Error! Liegt es vielleicht 5/3t² ? Muss das quadrat irgendwie erst weg ?

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dh245: Du darfst das natürlich nicht einfach in einen primitiven Taschenrechner eingeben. Wenn du da t² und t dabei hast, musst du den Term unter der Wurzel von Hand vereinfachen. Da solltest du Bruchrechnungsgesetze brauchen können.

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x² - 4 * t * x + 5/3 * t² = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung

x² + px + q = 0

p = -4t
q = 5/3*t²
p/2 = - 2t
(p/2)² = 4t²

x = - p/2 ±√ ( (p/2)² - q )

x = - ( -2t ) ±√ ( 4 * t² - 5/3 * t² )
x = 2 * t  ±√ ( 12 / 3 * t² - 5/3 * t² )
x = 2 * t  ±√ ( 7 / 3 * t² )
x = 2 * t  ±  t  * √ ( 7 / 3 )
x = 2 * t  ±  t  * 1.53
x = t * ( 2   ±  1.53 )

Wo ist bei dir der Fehler ?

Answer 2

Genau Pythagoras ist ein Teil der Aufgabe.

In der Aufgabe steht: "Von der Deichkrone..." . Welcher Punkt ist denn mit "Deichkrone" gemeint? Welche Eigenschaft hat dieser Punkt. (Extremstelle)

Nun einfach den Punkt berechnen (1. Ableitung = 0 , 2. Ableitung an der selben Stelle ≠ 0 )

Die x- und y- Koordinate dieses Punktes sind dann deine beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.

Dann einfach Pythagoras.

Comments

Achso ja aber wie setze ich es dann in die Wurzel ein? In der Lösung steht: √t²+16/9t⁴ . Dieses hoch vier kann ich mir nicht erklären, da die  y - koordinate 4/3 t² heisst. Wenn ich es dann in die Wurzel einsetze quadriere ich die 4/3 und es kommt 16/9 raus wieso steht da dann noch hoch 4? Müsste das nicht hoch 2 sein, weil

Man es schon einmal quadriert hat? Oder gibt es dafür irgendeine Regelung die ich nict kenne?

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Pythagoras : a²+b² =c²

Ich habs jetzt nicht nachgerechnet ,aber wenn die x Koordinate t ist, ist das einfach der Pythagoras.
√(a^2+b^2) = c
Also ist y  dein b .Deswegen  nimmst du y^2 und hast (4/3t^2)^2 und das ist 16/9t^4.