Welches Volumen fasst der Trichter?

Question

hey, zu aller erst wünsche ich euch ein frohes neues jahr 2015!

okay, also folgende aufgabe: 

aus dem kreisausschnitt wird ein trichter geformt. welches volumen fasst der trichter? gegeben sind in dem kreisausschnitt die seitenlänge s mit 20 cm und ein winkel von 120°. zur berechnung des volumens des trichters fehlt also noch der radius r und die höhe h. klar ist, dass die bogenlänge b des kreisausschnitts dem umfang 2πr des grundkreises des kegels entspricht. 

so, jetzt mein "problem":

als lösung ist angegeben: b=π·20 cm·120°        durch 180°

damit wäre die bogengänge b = 41, 9 cm lang.

dann steht da, dass sich r aus 41,9 : 2π ergibt (also r = 6,7)    

diese beiden schritte verstehe ich nicht wirklich... also woher kommen beispielsweise die 180° und und warum muss ich um den radius zu errechnen durch 2π teilen? ich hätte ehrlich gesagt einfach nur die hälfte der bogengänge genommen ._. 

wie ich dann h und das volumen berechnen soll, weiß ich. nur das verstehe ich echt nicht :D wäre so lieb, wenn mir das jemand erklären könnte.  

Answer 1

s = Seitenlänge Kegel ist der Radius eines Kreisausschnitts ( Mantelfläche Kegel ).
Der Umfang des Vollkreises wäre
U = 2 * s * π
Der Teilumfang ( Bogenlänge ) ist
b = U * 120 / 360
b = 2 * s * π * 120 / 360
b = s * π * 120 / 180
b = 41.9 cm

Die Bogenlänge von 41.9 cm entspricht im gefalteten Zustand
dem Umfang der kreisförmigen Grundfläche.
U = 2 * π * r = 41.9 cm
r = 6.67 cm

Stelle dir jetzt den Kegel in der Seitensicht vor.
s^2 = h^2 + r^2
20^2 = h^2 + 6.67^2
h^2 = 400 - 44.47
h = 18.86 cm

V = Grundfläche * Höhe * 1/3
V = r^2 * π * 18.86 * 1 / 3

Falls notwendig kann ich auch noch eine Skizze einstellen.

Comments

vieeeeeelen lieben dank für diese Erklärung :) kann das jetzt endlich nachvollziehen :D 

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Gern geschehen. Dazu ist das Forum ja da.