Identitäten herleiten und zeigen, dass die Menge der Funktionen ein Orthogonalsystem in V ist

Question

Aufgabe 5:

Es sei \( V=C^{0}([0,2 \pi], \mathbb{R}) \) der Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Intervall \( [0,2 \pi] \) mit dem Skalarprodukt \( \langle f, g\rangle=\int \limits_{0}^{2 \pi} f(x) g(x) d x \).

a) Leiten Sie die folgenden Identitäten her:

\( \begin{aligned} 2 \sin (n x) \cos (m x) &=\sin ((n+m) x)+\sin ((n-m) x) \\ 2 \sin (n x) \sin (m x) &=\cos ((n-m) x)-\cos ((n+m) x) \\ 2 \cos (n x) \cos (m x) &=\cos ((n-m) x)+\cos ((n+m) x) \end{aligned} \)

b) Zeigen Sie, möglicherweise unter Verwendung dieser Identitäten, daß die Menge der Funktionen \( \{1, \sin (x), \cos (x), \sin (2 x), \cos (2 x), \sin (3 x), \cos (3 x), \ldots\} \) ein Orthogonalsystem in \( V \) ist. Bestimmen Sie \( \| \sin (n x)) \| \) und \( \|\cos (n x)\| \) für \( n \in \mathbb{N}_{0} \). (Hier steht \( x \) nicht für einen bestimmten reellen Wert, sonder als Platzhalter zur Bezeichnung des Arguments der Funktion.)

Answer 1

a1) Additionstheorem von sin verwenden:
sin(nx+mx)=sin(nx)*cos(mx)+cos(nx)*sin(mx)
sin(nx-mx)=sin(nx)*cos(mx)-cos(nx)*sin(mx)

Jetzt die beiden Gleichungen addieren, dann steht es da.

zu b) Orthogonalsystem heisst doch, jeder aus diesem System hat mit jedem anderen
aus dem System das Skalarprodukt. Da musst du alle Fälle mal durchgehen, etwa den
< sin(nx) , cos(mx) >  =  
Integral von 0 bis 2pi sin(nx) * cos(mx) dx
mit den gegebenen Formeln ist das
o,5 ( Integral von 0 bis 2pi sin(n+m)x) dx   +   o,5 ( Integral von 0 bis 2pi sin(n-m)x) dx
Das läßt sich leicht integrieren:
= 0,5 * [ -1/(n+m)* cos(n+m)x ] von 0 bis 2pi + 0,5 * [ -1/(n-m)* cos(n-m)x ] von 0 bis 2pi
und wegen cos(k*2pi)=1 ist das
= 0,5*( -1/(n+m) - ( -1/(n+m)) +   0,5* ( -1/(n+m) - ( -1/(n+m))   = 0

 also sind die sin(nx) und cos(mx) schon mal zueinander orthogonal.
ebenso für sin(nx) , sin (mx)  und so fort.