Skizzieren der Menge in der komplexen Zahlenebene M={z∈ℂ|Re(z)≤5Im(z) und |zi+2-3i|≤2}

Question

ich soll folgende Menge in die komplexe Zahlenebene skizzieren:

M={z∈ℂ|Re(z)≤5Im(z) und |zi+2-3i|≤2}

Für eine allgemeines z=a+bi ist also die erste Bedingung a≤5b. Die zweite Eigenschaft ergibt bei mir die Bedingung: a²-6a ≤ 4b-9-b²

Aber was ergibt das jetzt in der Zahlenebene? Ich stehe da etwas auf dem Schlauch.

Alex

Answer 1

Für eine allgemeines z=a+bi ist also die erste Bedingung a≤5b. Die zweite Eigenschaft ergibt bei mir die Bedingung: a²-6a ≤ 4b-9-b² 
 a²-6a ≤ 4b-9-b² 

 a²-6a +9  ≤ 4b-b²  

(a-3)^2 +b^2 - 4b + 4 ≤    4

(a-3)^2 +(b-2)^2 ≤    4    Das ist alles im Inneren

des Kreises um (3/2) mit Radius 2

zusammen mit 5b ≥ a besser  b ≥ (1/5)a

sind das nur die Punkte im Inneren (inclusive Rand) des Kreises,

die oberhalb und auf der Geraden y=0,2x liegen.

Comments

Sehr gut, vielen Dank für die umfassende Antwort.

Answer 2

ich persönlich mag in diesem Fall die Verwendung \( z = x+yi \) lieber. Damit kann man direkt seine meist viel früher kennen gelernte Vorstellung des zweidimensionalen Raums mit den komplexen Zahlen verbinden und \(z\) als Punkt \( (x|y) \) im Koordinatensystem betrachten.

Deine 1. Gleichung würde ja bedeuten du suchst alle Punkt für die gilt: \( y \geq \frac{1}{5}x \).

Du kennst bestimmt die Darstellung der Punkte für die gilt \( y = \frac{1}{5}x \), nämlich eine Gerade. Versuch jetzt mal das "Größer Gleich" geometrisch zu interpretieren ;).

Mein Tipp zur 2. Gleichung: Durch Umformung ergibt sich \( (x-3)^2+(y-2)^2 \leq 4 \). Betrachtet man wieder den Fall der Gleichheit, so hat man eine Kreisgleichung vor sich. Versuche den Mittelpunkt und den Radius aus dieser Gleichung zu lesen und überlege was geometrisch in diesem Fall das "kleiner gleich" bedeutet.

Die Menge M ist der Schnitt der Mengen die die beiden Gleichungen beschreiben. Wenn du beide einzeichnen kannst, dann sollte M kein Problem mehr darstellen.

Gruß

Comments

Ok, vielen Dank.

LG