Schlussfolgerung von Eigenschaften einer Abbildung

Question

Aufgabe (Körper mit \( 4,16,256, \ldots \) Elementen):

Für einen Körper \( K \) ist die Abbildung \( K \longrightarrow K, \lambda \longmapsto \lambda^{2}-\lambda \) nicht injektiv \( (0 \mapsto 0,1 \mapsto 0) \). Schließen Sie im Fall, dass \( K \) endlich ist:

- Es gibt ein \( c \in K \), für das kein \( \lambda \in K \) die Gleichung \( \lambda^{2}-\lambda-c=0 \) erfüllt.

- Ist \( q \) die Anzahl der Elemente von \( K \), dann gibt es auch einen Körper mit genau \( q^{2} \) Elementen.

Ansatz/Problem:

Für den ersten Teil der Aufgabe (Lambda |-->Lambda²-Lambda) zeige das keine Lambda diese Gleichung erfüllt: Lambda²-lambda-c=0 

<=> Lambda²-Lambda=c und das ist unser f(Lambda)=c und es soll ein c aus dem Körper geben, dass die Gleichung nicht erfüllt ist, hier ist nun die Frage was nun für das c gelten muss, hängt sicher noch mit Eigenschaften der Injektivität zusammen

Und für den zweiten Teil der Aufgabe: Hier muss man vermutlich irgendwie auf die Dimension kommen und dann auf die möglichen Anzahlen der Elemente de möglich sind.

Comments

vielleicht geht so was wie bei der Erweiterung von IR nach C.

Da ist ja die Idee, dass man sowas wie Wurzel(-1) dazu

nimmt, indem man Paare (x,y) betrachtet und für diese

die klassische Addition (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+y1, x2+y2)

definiert und die Multiplikation so definiert, 

(x1,y1) * (x2,y2)= ( x1*x2-y1*y2, x1*y2+x2*y1)

dass (o,1)*(o,1)= (-1,0) wird, also (o,1) als die

Wurzel aus -1 interpretiert werden kann.

Hier müsste man aus dem Körper K Paare bilden

(Das sind dann jedenfalls schon mal q^2 Stück.)

und die Multiplikation eben so definieren, dass (o,1) die

im Körper K nicht vorhandene Lösung der Gleichung L^2 - L = c ist.

Dann müsste das wohl so sein:

(x1,y1) * (x2,y2) = ( x1*x2 + y1*y2*c , x2*y1+x1*y2 + y1*y2 )

Dann ist jedenfalls (0,1) bei dieser Multiplikat. eine Lösung

von L*L - L = c.  Musst du nur noch prüfen, ob die

gängigen Gesetze (Distributi, assoziativ etc )für diese

Multiplikation auch gelten.

Answer 1

<=> Lambda²-Lambda=c und das ist unser f(Lambda)=c und es soll ein c aus dem Körper geben, dass die Gleichung nicht erfüllt ist, hier ist nun die Frage was nun für das c gelten muss, hängt sicher noch mit Eigenschaften der Injektivität zusammen

Da f nicht injektiv ist und K endlich, gibt es ein c aus K, welches
nicht in der Bildmenge von f liegt.
[Denn eine Selbstabbildung einer endlichen Menge auf sich
 ist  immer zugleich injektiv und surjektiv,
in diesem Falle also beides nicht.]

Für dieses c gibt es also kein L aus K mit f(L)=c ,
also ist die Gleichung f(L) - c = 0 nicht lösbar
für irgendein L aus K.

Comments

Das habe ich inzwischen auch bereits rausgefunden aber du hast es besser erklärt und ich fühle mich bestätigt :) Wie sieht es mit dem zweiten Teil der Aufgabe aus, weißt du da auch was?Danke nochmal für die schnelle Antwort