Wie viele Windungen einer 7/1000 mm dicken Folie muß ich wickeln um 10 m zu erhalten?

Question

Ein Zylinder hat einen Durchmesser von 2 cm.

Wie viele Windungen (Umdrehungen) einer 7/1000 mm dicken Folie muß ich darauf wickeln um 10 m darauf zu erhalten ?

Answer 1

Wenn ich mir die Folie von der Seite ansehe kann ich die Seitenfläche berechnen:

__________________________________________________________

A = g * h = 10 m * 7/1000 mm = 10000 mm * 7/1000 mm = 70 mm^2

Die gleiche Seitenfläche muss ich auch haben, wenn ich auf den Zylinder schaue.

A = pi (R^2 - r^2)

R = √(A/pi + r^2) = √(70/pi + 10^2) = 11.058 mm

h = R - r = 11.05810526 - 10 = 1.05810526

n = 1.05810526 / (7/1000) = 151.1

Man braucht also 152 Wicklungen.

Es gibt aber auch andere Lösungsmethoden die zum Ziel führen.

Comments

Einfachere für einen Laien ?

Aber trotzdem vielen Dank

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Ich fand das schon recht einfach :)

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Oweih :-))

Dann werde ich am Dienstag mal gucken ob Deine Berechnung mit der Tabelle auf der Arbeit übereinstimmt.

Die Berechnung hat also gar nichts mit dem Durchmesser des Zylinders zu tun und das der Durchmesser zunimmt während des Wickelns ?

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Die Lösung vom Mathecoach verstehe ich nicht so richtig.

Kannst du die vielleicht nochmal ausführlicher erklären?

Ich habe unten in den Kommentaren jetzt das ganze mit dem Durchmesser des Zylinders gerechnet und etwa den dreifachen Wert erhalten.

EDIT: Nach einer kleinen Korrektur liegt der Wert jetzt zumindest in der selben Größenordnung.

Answer 2

Damit die Folie um den Zylinder herum 10m dick ist, müssen die n Schichten, die jeweils 0,007mm dick sind, zusammen 10m ergeben:

 

10 m = n*0,007mm

10 m = n* 0,000007m

n = 1428571,4

Natürlich machen hier nur ganze Windungen Sinn, damit also auf jeden Fall überall mehr als 10m sind, wählt man am besten

n = 1428572

Windungen.

Comments

hab mich wohl blöd ausgedrückt. Die Länge der Folie die aufgewickelt werden soll muß 10 m sein.

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EDIT: Ich habe das Pi vergessen. :-)

 

Das ist etwas schwieriger.

Der Durchmesser erhöht sich bei jedem Umlauf um 7/1000 mm.

Das heißt, beim k-ten Umlauf beträgt der Durchmesser:

d_k = 20 mm + k*7/1000 mm

also der Umfang:

u_k = π*d_k = π*(20 mm + k*7/1000 mm)

 

Nun soll die Summe aller dieser Umfänge insgesamt 10m ergeben, also:

10 m = u₀ + u₁ + ... + u_n

10000/π mm = n*20mm + 1*7/1000 mm + 2*7/1000 mm + ... + n*7/1000 mm

10000/π = 20n + 7/1000*(1+2+...+n)

Nun gibt es für die Summe der Zahlen von 1 bis n eine einfache Formel, nämlich

1+2+...+n = n*(n+1)/2

 

Also:

10000/π = 20n + 0,007n*(n+1)/2

0,0035n² + 20,0035n - 10000/π = 0

Die Lösung lässt sich nun nach den üblichen Formeln für quadratische Gleichungen bestimmen.

Sie lautet: n = 154,927

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Ich fände hier

10000/π mm = n*(20+7/1000)mm + 0*14/1000 mm + 1*14/1000 mm + ... + (n-1)*14/1000 mm

logischer. Da der Durchmesser je Umdrehung um 14/1000 zunehmen müsste und in der Mitte der ersten Schicht schon 20+7/1000 wäre.

Mathecoach hat die Querschnittsfläche der Rolle betrachtet und das mit der Querschnittsfläche der flachen Folie gleichgesetzt. Ganz genau dasselbe wird so wohl nicht rauskommen. 

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ich möchte das hier noch mal aufgreifen.


wir haben mal 100 Windungen gewickelt und die dann mit einem Zählwerk gemessen.

Das Länge ist 9,94m.

Durchmesser des Zylinders ist 25 mm, dicke der Folie 7/1000 mm.


Jetzt noch mal die Frage nach einer passenden Formel für Amateurmathematiker, bitte.


Gruß