Bestimmen Sie einen möglichst genauen Näherungswert für das gesuchte Alter. (14C-Atome, Exponentialfunktion)

Question

Aufgabe:

Im Schwarzlaichmoor bei Peiting in Oberbayern stieß ein Arbeiter 1957 mit seinem Bagger auf eine Kiste aus Kiefernholz. Sofort wurden die Arbeiten eingestellt, da man einen Schatzfund vermutete. Die Kist entpuppte sich als Sarg, in dem sich eine gut erhaltene Moorleiche fand, die anschließend sorgfältig von Fachleuten geborgen wurde.

Es handelte sich um eine etwa 25-jährige Frau. Um das Alter der Leiche bestimmen zu können, wurde eine Probe des Sargholzes entnommen und mithilfe der C-14-Methode untersucht.

a) Bei dieser Untersuchung ergab sich, dass noch ca. 90 % der ¹⁴C-Atome, die eine Halbwertszeit von 5730 Jahren haben, vorhanden war. Bestimmen Sie einen möglichst genauen Näherungswert für das gesuchte Alter.

b) In der Höhle von Lascaux in Frankreich wurden Höhlenmalereien gefunden. Untersuchungen ergaben, dass noch etwa 13 % der ursprünglichen ¹⁴C-Atome vorhanden sind. Bestimmen Sie das Alter der Höhlenmalereien.

c) Beim Turiner Grabtuch, in das angeblich der Leichnam von Jesus Christus eingewickelt gewesen sein soll, wurde ein Gehalt von 92 % der ursprünglichen ¹⁴C-Atome festgestellt. Wie alt ist das Grabtuch?

Answer 1

W ( t ) = W (0 ) * e^{-l*t}
W ( t ) = Wert bei der Z
W ( 0 ) = Anfangswert
l = faktor
t = Zeit
Es handelt sich um eine abnehmde Funktio deshalb -l

W ( t ) / W ( 0 ) wäre der Prozentwert wenn
W ( t ) und W ( 0 ) nicht bekannt sind

Halbwertzeit
W ( 5730 ) / W (0 ) =  e^{-l*5730} = 0.5  | ln ( )
ln ( e^{-l*5730}  ) = ln ( 0.5 )
-l * 5730 = ln ( 0.5 )
-l = -0.000121
l = 0.000121

W ( t ) = W ( 0 ) * e^{-0.000121*t}
W ( t ) / W ( 0 ) = e^{-0.000121*t}

Leiche
0.9 = e^{-0.000121*t}  | ln ( )
-0.000121 * t = ln ( 0.9 )

t = 868 Jahre

Die Aufgaben b und c entsprechend.

Answer 2

a)

N(t) = N(0)*a^t

Zerfallsfaktor a= 0,5^{1/5730}

0,9 = a^t

t = ln0,9/lna = 870,98 Jahre


b)

,013 =a^t

t = ...


c)

0,92 = a^t

t = ...

Answer 3

Ansatz  N(t) = N(0)*a^t    Exponentielles Wachstum bzw. Abnahme

Halbwertszeit 5730 Jahre, also

N(o) / 2 = N(0)*a^{5730}   | : N(0)

1/2 = *a^{5730}     | logarithmieren

log(1/2) = 5730* log(a)

log(1/2)  /  5730 =  log(a)   Beim 10er-Log gibt das

-0,000052536 = log(a)

10^-0,000052536 = a

a = 0,999879039

Also N(t) = N(0) * 0,999879039^t     t in Jahren.

90% erhalten bedeutet

0,9*N(0) = N(0) * 0,999879039^t       ############

0,9 = 0,999879039^t     logarithmieren

log(0,9) = t* log( 0,999879039) bzw. für möglichst genaues Ergebnis (s.0)

log(0,9) = t * log(1/2)  /  5730

t = log(0,9)*5730 / log(1/2) = 870,98

Also wurde das Sargholz etwa 871 Jahre vor dem Jahr 1957 geschlagen,

also im Jahr 1086.

Für die anderen Teile gehst du von der Gleichung ########### aus.