Grenzwert bestimmen von (tan(x)-x) / (x^3)

Question

Ich habe folgendes gegeben und muss den Grenzwert bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tan}(x)-x}{x^{3}} = \frac{0}{0}\)

Answer 1

mit dem unteren Hinweis ist doch schon fast alles erledigt?

l'Hospital kann angewendet werden, wie Du zeigst, tun wir das also

$$\lim \frac{\tan(x)^2}{3x^2}$$

Nun kannst Du wieder l'Hospital anwenden.

Die Ableitung von \(\tan(x)^2\) ist dabei \(2\sin(x)/\cos(x)^3\)

$$\lim \frac{2\sin(x)}{\cos(x)^36x}$$

Nun ein letztes Mal l'Hospital verwenden

$$\lim \frac{2\cos(x)}{6\cos(x)^3 - 18x\cos(x)^2\sin(x)}$$

$$ = \frac13$$

Denn der zweite Summand im Nenner entfällt und die Kosinus werden 1.

Grüße

Comments

Muss man hier nicht die Regel u'×v-u×v' anwenden

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Wo ist bei Dir "hier"?

Die Ableitungen habe ich hier nicht kleinschrittig ausgeführt, da ich davon ausgehe, dass Du das selbst kannst. Die Produktregel wurde teils verwendet.

Answer 2

Setzte mit l'hospital an. Es gilt solange abzuleiten, bis der Nenner ohne x da steht. Der Grenzwert ist dann (wenn ich mich nicht verrechnet habe ;) ) 1/3

Comments

Falls nicht vorher der Zähler ungleich Null wird...

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Ja l'Hospital sagt genau das aus...