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Sei K ein Körper mit 1 ≠ -1, und \(V ={ Mat }_{ 2 }(K) \) der Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen. Wir betrachten den Endomorphismus:

$$ ƒ:V\longrightarrow V,\quad A\longmapsto {}^{t}A, $$

der eine Matrix \(A = ({ α }_{ ij })\) auf die transponierte Matrix \({}^{t}A = ({ α }_{ ji })\) abbildet. Beweisen Sie, dass ƒ diagonalisierbar ist, indem Sie eine Basis aus Eigenvektoren angeben. Zeigen Sie weiterhin, dass ƒ für den Körper K = F2 nicht diagonalisierbar ist.

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Da f²=id ist das char. Polynom ein Teiler von X²-1, also sind die potentiellen Eigenwerte 1 und -1.

Basis des Eigenraums zu 1 ist diag(1,0), diag(0,1) (Diagonalmatrizen) und (0,1\\1,0).

Zu -1 ist es (0,-1\\1,0)

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Vielen Dank schonmal. Hat jemand einen Vorschlag für den zweiten Teil?

Was ist denn genau mit f²=id gemeint?

\(f\circ f = id\), also zweimalige Ausführung von \(f\) entspricht der Identität. D.h. für jede Matrix gilt \(f^2 (A) = A\).

Reicht es diese Matrix \( \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) als Basis zu nehmen um zu beweisen, dass K = F2 nicht diagonalisierbar ist?

Oh, denk ich hab die Aufgabe endlich verstanden!


Ich würde sagen das in F2 -1=1 ist und daher nur ein Eigenvektor existiert.Dann ist f natürlich nicht invertierbar!

Übrigens, könnte man nicht auch argumentieren das F*x=L*x ->F^2*x=L^2*x->E*x=L^2*x->L^2=E

L=E oder L=transponiert(E)

@Sam94: Als Basis von was? Und ein Körper kann gar nicht diagonalisierbar sein, das können nur Endomorphismen/Matrizen. Der Post machst also keinerlei Sinn.

Ich hatte eigentlich gadacht, dass mit der gegebenen Lösung die b) klar ist, denn damit ist die geom. Vielfachheit von 1 in Körpern mit Charakteristik 2 offensichtlich 3, die alg. 4.

@ ja130: " Dann ist f natürlich nicht invertierbar!" Ich erkenne hier keinerlei Zusammenhang zum Satz davor, auerdem hat der Eigenwert 1 mehr als einen Eigenvektor, (3 davon sind in der Antwort angegeben.

"Übrigens, könnte man" Und was sollen hier F und L sein, was x? E ist die Einheitsmatrix? Dann wäre aber das transponierte davon zu betrachten ziemlich sinnfrei.

um, F sollte die Matrix A sein, weiß nicht warum ich die plötzlich F genannt hab. L sollte Lander sein, also ein Eigenwert. x ist dann der Eigenvektor. Wenn ich mich jetzt nicht vertan hab.


Und das sollte nicht transponiert(E) sein sondern

$$L = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$



Und am ende sollte das diagonalisierbar heißen. Ich glaube ich sollte schlafen gehen.

Was ist denn ein Lander? meinst du vielleicht den griechischen Buchstaben lambda???

Aus Ax=Bx für Matrizen A,B und einen Vektor x folgt nicht A=B, sondern nur, dass x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 von A-B .

Ups, meinte lambda. Ich hab ja auch nicht behauptet das sie gleich sind, aber wenn $$ A*x=\lambda x $$ dann gilt auch $$ A^2x=\lambda^2 x $$

Du hast ja schon gesagt das A^2=id, also
$$ x=\lambda^2 x$$

Oder hab ich einen denkfehler?
Ich habe hier nie gessgt, dass A²=E, sondern f²=id. Das sind hier zwei paar ganz verschiedene Schuhe.
Und in Matrizenringen gibt es für die Gleichung A²=E u.U. sehr viele Lösungen (z.B. alle Diagonalmatrizen mit nur 1 oder -1 auf der Diagonale) oder (0,1\\1,0). ...

Oh, stimmt. Muss mir das ganze wohl morgen nochmal ansehen.





...Und wieso fragt der spam filter jedes mal das selbe?

Durch Lösen des entsprechenden linearen Gleichungssysteme (oder durch geschicktes Hinsehen)

(0,1\\1,0) ist dann die Matrix : \( \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) ne?

OK, jetzt weiß ich nur nicht warum die algebraIche vielfachheit 4 ist...

Aber x^2-1=0 hat doch nur einfache Nullstellen, oder?

Ich wünschte ich würde diese Aufgabe verstehen. Aber x2 -1 = 0 ist ja x2 = 1. Und was quadriert wird, hat ja zwei Lösungen, also hat es vielleicht auch zwei Nullstellen. x1 = 1 und x2 = -1.
Natürlich sind 1 und -1 Nullstellen von X²-1. Und ganz ehrlich, wenn das als Student nicht klar ist, fehlt es massiv an Grundlagen. X²-1 ist hier nicht das charakteristische Polynom. Die alg. Vielfachheit 4 folgt daraus, dass die Summe aller alg. Vielf. die Dimension des Vektorraums/Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der darstellenden Matrix ist. Und in dem Fall gibt es nur einen Eigenwert.

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