Question

Sei K ein Körper mit 1 ≠ -1, und \(V ={ Mat }_{ 2 }(K) \) der Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen. Wir betrachten den Endomorphismus:

$$ ƒ:V\longrightarrow V,\quad A\longmapsto {}^{t}A, $$

der eine Matrix \(A = ({ α }_{ ij })\) auf die transponierte Matrix \({}^{t}A = ({ α }_{ ji })\) abbildet. Beweisen Sie, dass ƒ diagonalisierbar ist, indem Sie eine Basis aus Eigenvektoren angeben. Zeigen Sie weiterhin, dass ƒ für den Körper K = F₂ nicht diagonalisierbar ist.

Answer 1

Da f²=id ist das char. Polynom ein Teiler von X²-1, also sind die potentiellen Eigenwerte 1 und -1.

Basis des Eigenraums zu 1 ist diag(1,0), diag(0,1) (Diagonalmatrizen) und (0,1\\1,0).

Zu -1 ist es (0,-1\\1,0)

Comments

Vielen Dank schonmal. Hat jemand einen Vorschlag für den zweiten Teil?

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Was ist denn genau mit f²=id gemeint?

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\(f\circ f = id\), also zweimalige Ausführung von \(f\) entspricht der Identität. D.h. für jede Matrix gilt \(f^2 (A) = A\).

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Reicht es diese Matrix \( \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) als Basis zu nehmen um zu beweisen, dass K = F₂ nicht diagonalisierbar ist?

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Oh, denk ich hab die Aufgabe endlich verstanden!

Ich würde sagen das in F2 -1=1 ist und daher nur ein Eigenvektor existiert.Dann ist f natürlich nicht invertierbar!

Übrigens, könnte man nicht auch argumentieren das F*x=L*x ->F^2*x=L^2*x->E*x=L^2*x->L^2=E

L=E oder L=transponiert(E)

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@Sam94: Als Basis von was? Und ein Körper kann gar nicht diagonalisierbar sein, das können nur Endomorphismen/Matrizen. Der Post machst also keinerlei Sinn.

Ich hatte eigentlich gadacht, dass mit der gegebenen Lösung die b) klar ist, denn damit ist die geom. Vielfachheit von 1 in Körpern mit Charakteristik 2 offensichtlich 3, die alg. 4.

@ ja130: " Dann ist f natürlich nicht invertierbar!" Ich erkenne hier keinerlei Zusammenhang zum Satz davor, auerdem hat der Eigenwert 1 mehr als einen Eigenvektor, (3 davon sind in der Antwort angegeben.

"Übrigens, könnte man" Und was sollen hier F und L sein, was x? E ist die Einheitsmatrix? Dann wäre aber das transponierte davon zu betrachten ziemlich sinnfrei.

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um, F sollte die Matrix A sein, weiß nicht warum ich die plötzlich F genannt hab. L sollte Lander sein, also ein Eigenwert. x ist dann der Eigenvektor. Wenn ich mich jetzt nicht vertan hab.

Und das sollte nicht transponiert(E) sein sondern

$$L = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Und am ende sollte das diagonalisierbar heißen. Ich glaube ich sollte schlafen gehen.

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Was ist denn ein Lander? meinst du vielleicht den griechischen Buchstaben lambda???

Aus Ax=Bx für Matrizen A,B und einen Vektor x folgt nicht A=B, sondern nur, dass x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 von A-B .

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Ups, meinte lambda. Ich hab ja auch nicht behauptet das sie gleich sind, aber wenn $$ A*x=\lambda x $$ dann gilt auch $$ A^2x=\lambda^2 x $$

Du hast ja schon gesagt das A^2=id, also
$$ x=\lambda^2 x$$

Oder hab ich einen denkfehler?

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Ich habe hier nie gessgt, dass A²=E, sondern f²=id. Das sind hier zwei paar ganz verschiedene Schuhe.
Und in Matrizenringen gibt es für die Gleichung A²=E u.U. sehr viele Lösungen (z.B. alle Diagonalmatrizen mit nur 1 oder -1 auf der Diagonale) oder (0,1\\1,0). ...

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Oh, stimmt. Muss mir das ganze wohl morgen nochmal ansehen.

...Und wieso fragt der spam filter jedes mal das selbe?

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Durch Lösen des entsprechenden linearen Gleichungssysteme (oder durch geschicktes Hinsehen)

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(0,1\\1,0) ist dann die Matrix : \( \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) ne?

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OK, jetzt weiß ich nur nicht warum die algebraIche vielfachheit 4 ist...

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Das könnte helfen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert#Spektrum_und_Vielfachheiten

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Aber x^2-1=0 hat doch nur einfache Nullstellen, oder?

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Ich wünschte ich würde diese Aufgabe verstehen. Aber x² -1 = 0 ist ja x² = 1. Und was quadriert wird, hat ja zwei Lösungen, also hat es vielleicht auch zwei Nullstellen. x₁ = 1 und x₂ = -1.

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Natürlich sind 1 und -1 Nullstellen von X²-1. Und ganz ehrlich, wenn das als Student nicht klar ist, fehlt es massiv an Grundlagen. X²-1 ist hier nicht das charakteristische Polynom. Die alg. Vielfachheit 4 folgt daraus, dass die Summe aller alg. Vielf. die Dimension des Vektorraums/Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der darstellenden Matrix ist. Und in dem Fall gibt es nur einen Eigenwert.