Dimension, Bild und Dimension linearer Abbildung

Question

Brauch mal eure Hilfe bei der Aufgabe...

aufgabe: Wir definieren       φ: ℝ³ → ℝ⁴ ,    (x1,x2,x3) → ((x1+2x2-x3), (x1+x3), (x2-x3), (2x1+x2+x3))

ermittle die dim φ(ℝ³ ) sowie eine Basis von φ(ℝ³ ) und Kern(φ)

PS: Der Beitrag in den Klammern soll eine Matrix sein!!

                                         

Answer 1

Schreib dir doch erst mal die Matrix  M  auf:
1   2   -1
1   0    1
0   1   -1
2   1    1
Dann bringst du M auf Stufenform
Dann entsehen unten zwei Reihen mit lauter Nullen,
also ist der Rang = 2 und das ist die DIM vom Bild.

Dann setzt du die Stufenform =
o
o
o
o
Du kannst also x3 frei wählen , setzt das ein und bestimmst ein Basis für den
 Kern. der hat dim =1

Comments

also wenn ich den rang hab und er ist 2 dann ist mein dim φ(ℝ² ) =2 und bei der Basis hab ich ja meine Matrix M dann mach ich sie = {0} und wieso dard ich x3 frei wählen??  und mein Kern hat dim =1.

---

weil die letzten beiden Reihen in der Stufenform nur Nullen sind.

---

okay ich versuch es mal...

du hast ja geschrieben das der Rang = 2 ist und das ist dim vom Bild aber ich brauch ja die dim φ (ℝ³ ) ist des gleiche?

irgendwie komm ich auf den Rang = 3 aber weiß nicht wo mein fehler liegt...