Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum

Question

Wie man das charakteristische Polynom berechnet weiß ich, Eigenwert geht grade noch so, aber Eigenvektor und Eigenraum will das Verständnis nicht so ganz mitmachen. Mir würde schon reichen das Beispiel aus der Vorlesung zu verstehen:

\( A = \begin{pmatrix}  2 & 0 &1 \\ 4 & 1 & -4 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R}) \)

Eigenwerte: 0 und 1

λ=0: E₀ = {v ∈ ℝ³ | A*v = 0} = span_ℝ \( \left\{ \begin{pmatrix} 1\\4\\2 \end{pmatrix} \right \} \) (=Eigenraum zu 0)

λ=1: E₁ = { v ∈ ℝ³ | A*v = v} = {v ∈ ℝ³ | (A-E)*v = 0} = span_ℝ\( \left \{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \right \} \)

E=Einheitsmatrix

Könnte mir jemand erklären, wies funktioniert ?

Answer 1

Könntest du einmal die Matrix überprüfen. Wolframalpha kommt auf andere Eigenwerte.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2%2C+0%2C+1%7D%2C+%7B4%2C+1%2C+-4%7D%2C+%7B2%2C+0%2C+-1%7D%7D

Erste Zeile müsste hinten auch eine -1 stehen.

Setzte dann in das folgende Gleichungssystem für k die Eigenwerte 0 und 1 ein und löse das Entsprechende Gleichungssystem. Du erhältst die Eigenvektoren. Und damit den Eigenraum.

[2 - k, 0, -1; 4, 1 - k, -4; 2, 0, -1 - k] * [a; b; c] = [0; 0; 0]

Comments

Stimmt da ist ein Fehler !

Eintrag 1,3 muss -1 sein.

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Also wenn ich das LGS löse habe ich als Vektor (1/2, 2, 1). Wäre das genauso richtig, da (1,4,2) ja ein vielfaches von dem Vektor ist?