Bestimme die Lösungsmenge von 8-9x+x^2=0 und (x-6)(x-5)+(x-7)(x-4)=10 mit quadratischer Ergänzung.

Question

Ich schreibe bald eine sehr wichtige Arbeit, und komme bei einer Frage nicht weiter. Wir sollen die Lösungsmenge bei einer quadratischen Gleichung herausfinden, wobei wir aber nicht die pq-formel anwenden dürfen.

Aufgaben: 8-9x+x^2=0 und (x-6)(x-5)+(x-7)(x-4)=10

Bitte mit Lösungsweg.

Comments

Quadratische Ergänzung erlaubt?

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Ja, das sollen wir auch so machen :)

Answer 1

mittels quadratischer Ergänzung:

Faktor bei x^2 muss 1 sein, das ist hier bereits der Fall, ansonsten umformen.

8-9x+x²=0 

halbiere den Faktor bei x 

9/2= 4,5

und subtrahiere 4,5^2

also:

x^2-9x+8=0 <=>

(x-4,5)^2 - 4,5^2+8 = 0 <=>

(x-4,5)^2 = 12,25 ................Wurzel

x-4,5 = +/- 3,5 <=>

x1 = 8

x2 = 1

.....................................

(x-6)(x-5)+(x-7)(x-4)=10

ausmultiplizieren und ebenfalls quadratische Ergänzung anwenden

Comments

Hier die 2.Aufgabe zum nachvollziehen

(x-6)(x-5)+(x-7)(x-4)=10   | ausmultiplizieren
x^2 - 6x  - 5x + 30 + ( x^2 - 7x -4x + 28 ) = 10
2 * x^2 - 22 * x + 58 = 10
2 * x^2 - 22 * x = - 48  | 2
x^2 - 11 * x = - 24  | quadratische Ergänzung
x^2 - 11 * x + ( 11/2)^2 = - 24 + 121/4
( x - 11/2 )^2 = 25 /4  | Wurzelziehen
x - 11/2 = ± 5/2
x = 16/2
x = 8
x = 6/2
x = 3

Answer 2

8-9x+x²=0

x^2 - 9x + 8 = 0 | Faktorisieren nach Vieta

(x       ... )( x  ..... ) = 0         | 8 faktorisieren so dass Summe -9 sein kann

(x .... 8)(x .....1) = 0             | Rechenzeichen geeignet einfügen.

( x- 8)(x-1) = 0

==> x1 = 8 und x2 = 1.

Comments

Ich weiss nicht, was vieta ist, das hatten wir noch nicht (bin in der 9 Klasse)  .

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(x-6)(x-5)+(x-7)(x-4)=10

x^2 - 11x + 30 + (x^2 - 11x + 28) = 10
2x^2 - 22x + 58 = 10
x^2 - 11x + 29 = 5
x^2 - 11x + 24 = 0     | 3*8= 24
( x... 3)(x...8) = 0        | -3 -8 = -11(x-3)(x-8) = 0
x1 = 3, x2 = 8

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Vieta ist das Gegenteil von Klammern ausmultiplizieren wie du es bei deiner 2. Aufgabe zu Beginn ja machen musst. Nun dasselbe einfach rückwärts. Dazu brauchst du nicht zu wissen, dass das Vieta heisst.

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Du sollst 'quadratische Ergänzung' üben. Schreib das bitte gleich in die Frage. Nicht pq-Formel lässt da beliebige andere Verfahren zu.

EDIT: Habe die Überschrift entsprechend geändert. Die quadratische Ergänzung ist inzwischen in der andern Antwort schon vorhanden.