Sei g: (a,b) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit g'(x)=0 für alle x∈(a,b). Dann ist g eine konstante Funktion.

Question

Sei (a,b) ein offenes Intervall.

a) Mit Hilfe des Mittelwertsatzes beweisen Sie: Sei g: (a,b) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit g'(x)=0 für alle x∈(a,b). Dann ist g eine konstante Funktion.

b) Folgendes ist offensichtlich: Für jedes C ∈ℝ erfüllt die Funktion f: (a,b) → ℝ , x ↦ Ce^x , die Gleichung f ' = f. Beweisen Sie, dass es keine weiteren Funktionen f: (a,b) → ℝ mit f ' = f gibt.

Hinweis zu b). Betrachten Sie g(x)=f(x)*e^-x.

Answer 1

a) Mit Hilfe des Mittelwertsatzes beweisen Sie: Sei g: (a,b) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit g'(x)=0 für alle x∈(a,b). Dann ist G eine konstante Funktion.

Zu zeigen ist: Es gibt eine Konstante c aus IR mit g(x)=c für alle x aus (a,b).
Berechne  g( (a+b)/2 ) und nenne das Ergebnis  c
Sei nun x aus (a,b) und o.B.d.A x<(a+b)/2 .
Für = ist eh g(x)=c und für > müssen im Folgenden nur die Int.grenzen getauscht werden.
 Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz ein z aus (x, (a+b)/2 ) mit
g( (a+b)/2 ) - g(x) /  (( a+b)/2 - x )  =  g ' ( z) und nach Vor also = 0
dann ist aber g( (a+b)/2 ) - g(x) = 0
also g( (a+b)/2 ) = g(x)
also    c = g(x)  q.e.d.

b)Hinweis zu b). Betrachten Sie g(x)=f(x)*e^-x.
Dann ist g ' (x) = 0 und wegen a) also  g(x) = c
und aus f(x)*e^-x  = c      mit:  * e^x
     folgt     f(x) = c*e^x

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