Was sind der Real- und Imaginärteil von 1/i?

Question

komme leider nicht drauf. Was sind der Real- und Imaginärteil von 1/i und wie kommt man darauf? Ich kann hier ja nicht 1/2 * (z + *z) bzw. 1/2i * (z - *z) anwenden, weil 1/i nicht die Form z = a + ib hat, oder?

Danke

Answer 1

Das ist richtig. Du musst die Zahl erst in die komplexe Normalform bringen.

Bei Brüchen von komplexen Zahlen geht man dabei folgendermaßen vor:

Hat man einen Bruch aus zwei komplexen Zahlen:

$$ \frac { a + i b } { c + i d } $$

So erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners, also in diesem Fall mit c-id. Daraus wird aus dem Nenner der Betrag (c²+d²), also eine reelle Zahl und aus dem Zähler nach dem ausmultiplizieren eine komplexe Zahl in der Normalform, die zusätzlich noch mit dem reellen Faktor 1/(c²+d²) malzunehmen ist.

Für dein Beispiel bedeutet das:
$$ \frac { 1 } { i } = \frac { 1 } { i } · \frac { - i } { - i } = \frac { - i } { i  · ( - i ) } = \frac { - i } { - ( - 1 ) } = - i $$

Damit folgt:
Re(1/i) = 0

Im(1/i) = -1

Für diesen Spezialfall kann man das auch noch ein bisschen eleganter lösen:
Wegen i²=-1 folgt i⁴=1

Also: 1/i = i³ = i²*i = -1*i = -i

Nebenbei fällt mir gerade auf, dass du die Formeln natürlich trotzdem anwenden kannst, solange du das konjugiert komplexe richtig bildest. Nach der folgenden Rechenregel:

$$ \overline { \left( \frac { z _ { 1 } } { z _ { 2 } } \right) } = \frac { \overline { z _ { 1 } } } { \overline { z _ { 2 } } } $$

Erhälst du für z = 1/i mit z₁=1 und z₂=i die komplex konjugierte zu z:
z* = 1*/i* = 1/-i = -1/i

Und durch Anwendung der Formeln kommst du ebenfalls auf Re(1/i) = 0 sowie Im(1/i)=-1