Rotationsmatrix im Rechtssystem - erst um x dann um z

Question

So ich habe mal eine Frage bezüglich der Richtigkeit.
Es soll eine 3*3 Rotationsmatri bestimmt werden, die die Rotation in X um 90° und dann um z in -45° durchführt

Kurz und knapp was ich getan habe:
(R_x,90°)^T * (R_z,-45°)^T
Transponiert, aufgrund des Rechtssystems.

Hier mal meine Rechnung:

$${ ({ R }_{ x,90° }) }^{ T }\quad =\quad (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(90) & sin(90) \\ 0 & -sin(90) & cos(90) \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{matrix})\\ { ({ R }_{ z,-45° }) }^{ T }\quad =\quad (\begin{matrix} cos(-45) & sin(-45) & 0 \\ -sin(-45) & cos(-45) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \\ \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})\\ \\ Endrotation\quad Re\quad =\quad { ({ R }_{ x,90° }) }^{ T }\quad *\quad { ({ R }_{ z,-45° }) }^{ T }=\quad (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{matrix})\quad *\quad (\begin{matrix} \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \\ \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})\\ Re\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$$

Comments

Hi hab das ganze grad nur überflogen. Dir sollte klar sein, dass das Ergebnis nicht stimmen kann. Dein Fehler liegt darin, dass du die Matrizzen multiplizieren musst und kein Skalarprodukt verwenden darfst. Ob die Matrix am Ende richtig ist kannst du ja ganz einfach überprüfen, indem du schaust ob die Einheitsvektoren in deinem Sinne gedreht werden.

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Hmm Achso das mit dem Skalar habe ich rausgenommen. In meiner Rechnung werden keine Skalarprodukte gebildet.

Ich habe zuerst beide Rotationsmatrizen gebildet und diese dann miteinander multipliziert. Im großen und ganzen müsste das Ergebnis stimmen, sofern ich die Rechenregeln richtig verwendet habe.

Ich würd nur gern wissen ob die Regeln so richtig angewendet sind.

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Du hast falsch ausmultipliziert.

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Nach längerem Hinsehen endlich den Fehler gesehen:
Es müsste rauskommen:
$$Re\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  & 0 \end{matrix})$$

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Wenn du die Matrix jetzt auf die Einheitsvektoren anwendest siehst du ob du die Drehung in deinem Sinne verläuft. 

Answer 1

In einem Rechtssystem ist das mathematisch Positve eine Drehung gegen! den Uhrzeigersinn. Ich meine die Drehmatrizen sehen dann so aus:

um x positive Drehung um 90°:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(90)& -sin(90)\\ 0 & sin(90) & cos(90) \end{pmatrix} $$

um z negative Drehung um 45°

$$\begin{pmatrix} cos(45) & sin(45)& 0 \\ -sin(45) & cos(45)& 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

das Produkt beider ist dann:

$$\begin{pmatrix} \frac { \sqrt{2} }{ 2 } & \frac { \sqrt{2} }{ 2 }& 0 \\ 0 & 0& -1\\ \frac { -\sqrt{2} }{ 2 } & \frac { \sqrt{2} }{ 2 } & 0 \end{pmatrix} $$

Comments

Wobei die Reihenfolge der Drehungen natürlich eine Rolle spielt.