Schnittpunkt & schnittwinkel

Question

die aufgabe lautet :

Die funktion f1 und f2 der Schar fa(x) = (a^2) x * e^-ax schneiden sich im Ursprung und an der Stelle xs > 0 innerhallb des 1.Quadranten. Berechnen Sie xs und den Schnittwinkel in xs .

Wie mache ich diese Aufgabe ?

Answer 1

Die funktion f1 und f2 der Schar fa(x) = (a²) x * e^-ax schneiden sich im Ursprung und an der Stelle xs > 0 innerhallb des 1.Quadranten. Berechnen Sie xs und den Schnittwinkel in xs .

f1  =  f2

x * e^-x  =   4 x * e^-2x               | : e^-x  geht, weil ungleich Null

x = 4x * e^-x        hat eine Lösung x = 0 und eine

1  =  4* e^-x

1/4 = e^-x

ln(1/4) =  - x

also x = ln(4).

Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den

Tangenten an die beiden Graphen im Schnittpunkt mit x=ln(4)

Steigung von f1 bei x=ln(4) ist f ' (ln(4)).

mit f1 ' (x) = (1-x)*e^{-x}  hast du f1 ' ( ln(4) ) = (1-ln(4) ) * 1/4 ungefähr -0,0965

und bei f2 ' ( ln(4) ) gibt es   mit f 2 ' (x) = (4-8x)*e^{-2x}   dann -0,4431

mit arctan(-0,0965) = -5,5°

und arctan(-0,4431) = -23,9°

siehst, du, dass beide Tangenten fallend sind. Der Winkel zwischen ihnen

ist also die Differen der beiden Gefällewinkel also 18,4° .

Comments

super ! danke , danke . Alles verstanden . 

Ich habe jedoch nur eine ganz kleine frage :

Wie kommt man auf :  x = 4x * e-x hat eine Lösung x = 0 und eine

  1 = 4* e-x  ?

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Du ziehst alle x auf eine seite und alle zahlen auf die andere. Dabei kommst du auf x/x=4e^-x und das ist das gleiche wie 1=4e^-x. Und dann ist x=o.

ich verstehe nur nicht wie man von ln(1/4)=-x auf ln(4)=x kommt. Weil man rechnet ja ×(-1) und dann ergibt es doch ln(-1/4)=x oder nicht?

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Logarithmusgesetz:    - ln( x ) =  ln ( 1/x )

hat was damit zu tun, dass  1/x  =  x^-1  ist.

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Ach ja richtig, da war ja was. Danke :)