Bestimmung der Produktionsmenge mit dem Newton-Verfahren

Question

Hej!

Ich sitze grad über meiner Probeklausur und komme nicht weiter bei folgender Frage:

"Gesucht ist die Produktionsmenge mit den geringsten Stückkosten. Benutzen Sie als Startwert x_o = 8 und schreiben Sie die Formel für das Newton-Verfahren und die Ergebnisse der ersten beiden Schritte dieses Verfahrens für diese Aufgabe auf. Weitere Berechnungen sollen nicht vorgenommen werden."

geg. ist die Kostenfunktion K(x)= x³-10x²+40x+200 und die Preis-Absatz-Funktion p(x)=400-7x

Ich habe es sowohl mit der Kosten- als auch mit der Preis-Absatzfunktion probiert. Aber irgendwo hängts da grad und ich komm nicht drauf :)

Vielleicht kann mir Jemand helfen?

Anni

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Bin kein Kaufmann.

Was sind die Stückkosten ?
K ( x ) / x ?
Das Minimum hätte diese Funktion bei 7.025

Was für eine Rolle spielt die Preis-Absatz-Funktion ?

Answer 1

Gesucht ist die Produktionsmenge mit den geringsten Stückkosten.

geg. ist die Kostenfunktion K(x)= x³-10x²+40x+200 und die Preis-Absatz-Funktion p(x)=400-7x

Die Stückkosten sind doch K(x) / x

also   k(x) = x²-10x+40+200/x

Für das Minimum brauchst du:  Ableitung = 0 setzen

Also erst mal Abl. bilden, dann gleich 0 setzen und

das gibt 2x - 200/x^2  - 10 = 0  bzw

x^3 -5x^2 - 100 = 0  und diese Gleichung sollst du mit Newton lösen, gibt

ungefähr 7,03  also ist die ges. Menge 7.

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Also auf

0 = x³-5x²-100 komme ich auch...

Aber laut Newton müsste ich ja jetzt:

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f^´(x_n) rechnen. da würde ich, da ich als Startwert x₀= 8 gegeben habe, in die Funktionen überall 8 einsetzen. Ist der Gedanke richtig?

Als Lösungswerte habe ich vorgegeben x₁ = 7,178571 und x₂ = 7,030450

und auf die komm ich nicht.

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Richtig. Was bekommst du den heraus ?

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auf 7,603261

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f ( x ) = x^3 - 5 * x^2 - 100
f ´ ( x ) = 3 * x^2 - 10 * x
f ( 8 ) = 8^3 - 5 * 8^2 - 100 = 512 - 320 - 100 = 92
f ´( 8 ) = 3 * 8^2 - 10 * 8 = 192 - 80 = 112
92 / 112 = 0.821
8 - 0.821 = 7.179

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achsoooo... ich dachte das die Funktion y = x³ - 5x² - 100 die erste Ableitung der Stückkostenfunktion sei...

meine Stückkostenfunktion war ja  k(x) = x³ - 10x² + 40x + 200 / x

wo liegt jetzt mein Denkfehler? :)

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Kostenfunktion K(x)= x³-10x²+40x+200
Stückkosten K / x : k(x) = x²-10x+40+200/x
Davon suchst du das Minimum. Also 1.Ableitung bilden und zu 0 setzen
2x - 200/x²  - 10 = 0
mathef hat diese Funktion * x^2 genommen damit es einfacher wird
2 * x^3 - 200 - 10 * x^2 = 0  | und noch /2
x^3 - 100 - 5 * x^2 = 0

Jetzt das Newton-Verfahren anwenden
( siehe meine Antwort )
f ( x ) = x³ - 5 * x² - 100
f ´ ( x ) = 3 * x² - 10 * x
f ( 8 ) = 8³ - 5 * 8² - 100 = 512 - 320 - 100 = 92
f ´( 8 ) = 3 * 8² - 10 * 8 = 192 - 80 = 112
92 / 112 = 0.821
8 - 0.821 = 7.179

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genau das versteh ich auch noch... um das Minimum zu suchen bilde ich die 1. Ableitung

die erste Ableitung ist also x³ - 5 * x² - 100

und dann bilden Sie in Ihrer Antwort von dieser 1. Ableitung wieder die 1. Ableitung :

f ( x ) = x³ - 5 * x² - 100
f ´ ( x ) = 3 * x² - 10 * x

und diesen Schritt kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen.

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Vorbemerkung : hier im Forum wird meist das " du " gebraucht.
Die Angelegenheit ist auch etwas kompliziert.
Gleich stelle ich eine Skizze ein.

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Wir haben die Funktion
f ( x ) = x³ - 5 * x² - 100
und suchen
x³ - 5 * x² - 100 =0
Die Gleichung läßt sich algebrisch nicht lösen.
Es wird das Newton Verfahren angewendet.

Die blaue Kurve ist f ( x ) ( symbolisch )
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist f ( x ) = 0.
Den wollen wir wissen.

Unser Startwert ist x = 8.
Dazu kann man den Funktionswert ausrechnen.
f ( 8 ) = 92
Die 1.Ableitung von f ( x ) ist
f ´ ( x ) = 3 * x² - 10 * x
Der Wert  der 1.Ableitung an der Stelle x = 8 ist
f ´( 8 ) = 112
Das Steigungsdreieck lautet
f ´( x ) = f ( x ) / delta(x)
delta(x) = f ( x ) / f ´( x ) = 92 / 112 = 0.821

Jetzt ziehe ich diesen Wert von x = 8 ab und erhalte
8 - 0.821 = 7.179

Jetzt bilde ich wieder f ( 7.179 ) und f ´ ( 7.179 ) und führe
die Berechnung ein 2.Mal durch
7.179 - f ( 7.179 ) / f ´ ( 7.179 )

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Nein, nix neue Ableitung.

Ich habe nur die 1. Abl. 0 gesetzt und dann die

ganze Gleichung mit x^2 multipliziert.

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Doch neue Ableitung.
Du hast
x³ - 100 - 5 * x² = 0
und dies als Funktion
f ( x ) = x³ - 100 - 5 * x²  fürs Newton Verfahren genommen.

Damit du das Verfahren duchführen kannst mußt du
doch davon auch die Ableitung bilden.
( siehe meinen preisgekrönten Kommentar mit Skizze )

Answer 2

Also auf

0 = x³-5x²-100 komme ich auch...

Aber laut Newton müsste ich ja jetzt:

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f^´(x_n) rechnen. da würde ich, da ich als Startwert x₀= 8 gegeben habe, in die Funktionen überall 8 einsetzen. Ist der Gedanke richtig?

Als Lösungswerte habe ich vorgegeben x₁ = 7,178571 und x₂ = 7,030450

und auf die komm ich nicht.

Comments

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f^´(x_n) rechnen. da würde ich, da ich als Startwert x₀= 8 gegeben habe,

in die Funktionen überall 8 einsetzen. Ist der Gedanke richtig? 

Ja, ist richtig, wenn ich das mache kriege ich

x1 = 8 - 92/112 = 7,17857