Zeigen Sie: |x ⊕ y| < c. Abelsche Gruppe, Gruppenisomorphismus

Question

Aufgabe:

Es sei \( c>0 \) und \( I=(-c, c) \) das offene Intervall mit den Grenzen \( -c \) und c. Für \( x, y \in I \) setzen wir

\( x \oplus y:=\frac{x+y}{1+\frac{x y}{c^{2}}} \)

Zeigen Sie:

a) \( |x \oplus y|<c \)

b) \( (I, \oplus) \) ist eine abelsche Gruppe.

c) Durch \( \varphi(x):=c \tanh (x) \) wird ein Gruppenisomorphismus \( \varphi:(\mathbb{R},+) \rightarrow(I, \oplus) \) definiert.

Wenn \( c \) die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet, ist \( \oplus \) das Additionsgesetz der speziellen ReIativitätstheorie für Geschwindigkeiten (in derselben Richtung).

Answer 1

Zu a): (einfach einsetzen und abschätzen)

\(|x\oplus y|=\left|\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^{2}}}\right|=\frac{|x+y|}{|1+\frac{xy}{c^{2}}|}\geq\frac{|x|+|y|}{1+|\frac{xy}{c^{2}}|}<\frac{c+c}{1+\frac{|x|\cdot|y|}{c^{2}}}<\frac{2c}{1+\frac{c^{2}}{c^{2}}}=c\)

Denn da \(x, y\in (-c, c)\) gilt \(|x|<c, |y|<c\) und es gilt die Dreiecksungleichung des reellen Betrags.

Zu b): (wir haben Abgeschlossenheit schon in a) gezeigt)

Nach Konstruktion ist \(0\in (-c, c)\) und es gilt \(x\oplus 0=\frac{x+0}{1+0}=x\) für alle \(x\in (-c, c)\), also haben wir ein neutrales Element.

Ebenfalls nach Konstruktion ist für \(x\in (-c, c)\) auch \(-x\in (-c, c)\) und es gilt offensichtlich \(x\oplus(-x)=0\) für alle \(x\in (-c, c)\), also haben wir auch für alle \(x\) ein Inverses.

Auch die Kommutativität ist sofort klar, da \(x+y=y+x\) und \(xy=yx\).

Zu c):

Da der tanh nur Werte in (-1, 1) liefert ist \(\varphi\) wohldefiniert, es bleibt nur die Verträglichkeit mit \(\oplus\) zu zeigen. Seien dazu \(a, b\in (-c, c)\), dann gilt (Additionstheorem des tanh)

\(\varphi(x+y)=c\tanh(x+y)=c\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}=\frac{c\tanh(x)+c\tanh(y)}{1+\frac{c\tanh(x)c\tanh(y)}{c^{2}}}=c\tanh(x)\oplus c\tanh(y)=\varphi(x)\oplus \varphi(y)\)

Answer 2

bei a) ist zu zeigen, dass

\( \left| \frac{x+y}{1+ \frac{xy}{c^2}} \right| < c \) bzw. \( \left| \frac{\frac{x}{c}+\frac{y}{c}}{1+ \frac{xy}{c^2}} \right| < 1 \)

ist. Dies ist äquivalent zu

\( \left| \frac{x}{c}+\frac{y}{c} \right| < \left| 1+ \frac{xy}{c^2} \right| \).

Quadrierung und die Abkürzungen \( a = \frac{x}{c} < 1\), \( b = \frac{y}{c} < 1 \) liefern

\( (a + b)^2 < (1 + ab)^2 \) bzw. \( a^2 + 2ab + b^2 < 1 + 2ab + a^2b^2 \).

Letzteres vereinfacht sich zu

\( a^2(1 - b^2) < 1 - b^2 \).

Da \( b^2 < 1 \) ist, ist \( 1 - b^2 > 0 \) und die Ungleichung lässt sich durch diesen Ausdruck teilen, sodass

\( a^2 < 1 \)

entsteht, eine wahre Aussage.

Bei b) müssen die Gruppeneigenschaften und die Kommutativität gezeigt werden. Letztere ist trivial, es ist leicht zu sehen, dass \( \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = \frac{y+x}{1+\frac{yx}{c^2}} \) gilt.

Das neutrale Element ist \( e = 0 \), wie leicht anhand von \( \frac{x+0}{1+\frac{x \cdot 0}{c^2}} = x \) zu sehen ist.

Das Inverse eines Elementes \( x \) ist \( -x \), wie man anhand von \( \frac{x+(-x)}{1+\frac{x(-x)}{c^2}} = 0 \) erkennt.

Wegen a) ist die Gruppe abgeschlossen unter der angegebenen Gruppenoperation.

Aufgabe c) entspricht der Anwendung des Additionstheorems für den Tangens Hyperbolicus, siehe auch  https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus#Additionstheorem .

Es ist \( \varphi(u + v) = c \tanh(u+v) = c \frac{\tanh(u) + \tanh(v)}{1+\tanh(u)\tanh(v)} \).

Mit der Substitution \( x = c \tanh(u) \) und \( y = c \tanh(v) \) ergibt sich

\( \varphi(u+v) = \dots = \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = x \oplus y \)

oder mit \( u \) und \( v \) geschrieben, also ohne Substitution,

\( \varphi(u+v) = c \tanh(u) \oplus c \tanh(v) = \varphi(u) \oplus \varphi(v) \).

Damit ist \( \varphi \) ein Homomorphismus. Da der Tangens Hyperbolicus umkehrbar ist, ist \( x = c \tanh(u) \) eine eineindeutige Zuordnung. Folglich ist \( \varphi \) ein Isomorphismus.

Der Vollständigkeit wegen sei gesagt, dass der Wertebereich von \( \varphi \) mit \( I \) übereinstimmt.

Mister