Zeigen Sie: Zu jedem ε > 0 existiert ein x_{0}>0 , so dass …(Integralrechung Intervall)

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) uber jedem Intervall \( [0, x] \) mit \( x>0 \) integrierbar. Ferner besitze \( f \) einen Grenzwert für \( x \rightarrow \infty . \) Zeigen Sie mit \( \gamma=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \)

a) Zu jedem \( \varepsilon>0 \) existiert ein \( x_{0}>0 \), so dass

\( \frac{\left|\int \limits_{x_{0}}^{x}(f(t)-\gamma) d t\right|}{x} \leq \varepsilon \)

für alle \( x>x_{0} \) gilt.

b) Die Funktion \( F:] 0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{1}{x} \int \limits_{0}^{x} f(t) d t\right. \) besitzt für \( x \rightarrow \infty \) einen Grenzwert, und es gilt \( \lim \limits_{z \rightarrow \infty} F(x)=\gamma \)

Answer 1

Hi,
ich setzte voraus, dass die Funktion \( f(x) \) stetig ist. Dann gilt der Mittelwertsatz der Integralrechnung und es gilt weiter
$$ \left| \frac{\int_{x_0}^x \left[ f(t)-\gamma \right] dt}{x} \right| = \left| f(\xi)-\gamma \right|\cdot \frac{x-x_0}{x} $$ mit \( \xi \in [x_0, x] \)
Da der Grenzwert \( \lim_{x\to\infty} f(x) \) existiert gibt es ein \( x_0 \) s.d. für alle \( x \ge x_0 \) gilt
$$ |f(x)-\gamma| < \epsilon $$
Für dieses \( x_0 \) gilt, \( |f(\xi) -\gamma| <\epsilon  \) da ja \( \xi \ge x_0 \) gilt. Weil auch \( \frac{x-x_0}{x} < 1 \) ist folgt
$$ \left| \frac{\int_{x_0}^x \left[ f(t)-\gamma \right] dt}{x} \right| < \epsilon $$
Zu (b)
Es gilt
$$ \left| \frac{1}{x} \int_0^xf(t)dt - \gamma \right| = \frac{1}{x} \left| \int_0^x \left( f(t) - \gamma \right) dt \right| $$
$$ \le \frac{1}{x} \left| \int_0^{x_0} (f(t) - \gamma) dt \right| + \frac{1}{x}\left| \int_{x_0}^x (f(t)-\gamma) dt \right| $$
Nach Teil (a) gibt es ein \( x_0 > 0 \) s.d. für alle \( x > x_0 \) der zweite Summand \( \le \frac{\epsilon}{2} \) ist. Da \( f(t) - \gamma \) eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall \( [ 0 , x_0 ] \) ist, gibt es eine Konstante \( M \) für die gilt \( | f(t) - \gamma | \le M \)
Daraus folgt
$$ \left| \frac{1}{x} \int_0^xf(t)dt - \gamma \right| \le \frac{x_0}{x} M + \frac{\epsilon}{2}  $$ für alle \( x > x_0 \ \)
Wähle \( x > \frac{2x_0M}{\epsilon} \) dann folgt \( \frac{x_0}{x} M < \frac{\epsilon}{2} \) also insgesamt
$$ \left| \frac{1}{x} \int_0^xf(t)dt - \gamma \right| \le \epsilon $$ für \( x \ge max \left\{ x_0, \frac{2x_0M}{\epsilon}  \right\} \)
D.h.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_0^xf(t)dt = \gamma $$

Comments

danke für die ausführliche Lösung.
Ich habe es jetzt verstanden.

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Hätte mal eine Frage zur a):
Wir haben den MIttelwertsatz wie den oberen auf Wikipedia definiert:
https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung
Wieso kann ich denn sagen, dass mein \(g(x)=1\) gilt?

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Und woher weißt du, dass f stetig ist?

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Das \( f(t)  \) stetig ist, muss vorausgesetzt werden, denn sonst kann man den Mittelwertsatz der Integralrechnung nicht anwenden und man kann nicht schliessen, dass \( |f(t)-\gamma| \le M  \) gilt.

Die Version des Mittelwertsatztes in Wikipedia mit einer Funktion \( g(x) \ne 1 \) ist eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes, es muss ja nur \( g \ge 0 \) oder \( g \le 0 \) gelten. Also kann man für \( g \) die Funktion \( g = 1 \) wählen.

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Denke mal, da \(f\) über jedem Intervall \([0,x]\) integrierbar ist. Ansonsten könnte man sich wohl 'ne Funktion basteln für die dies eben nicht gilt.

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Dass man den Mittlwertsatz nur anwenden kann, wenn \(f\) stetig ist, ist in Ordnung. Nur man muss das ja trotzdem erst mal irgendwie beweisen, dass das für unseren Fall gilt, oder nicht? Hättest du vielleicht eine Idee für den Beweis? Schätze ja mal, das man Gebrauch davon machen kann, dass \(f\) über jedem Intervall \([0,x]\) stetig ist. Viel Auswahl gibt es ja ansonsten nicht.

Ok, danke :)

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aus der Tatsache das \( f(t) \) in jedem Intervall \( [0, x ] \) integrierbar ist, kann man nicht schließen das die Funktion stetig ist. Jede stückweise stetige Funktion mit abzählbar viele Unstetigkeitsstellen ist Riemann integrierbar.

Insofern muss die Stetigkeit vorausgesetzt werden und kann nicht aus der Aufgabenstellung geschlossen werden.