Bestimmen Sie die Matrix so, dass die lineare Abbildung eine Spiegelung an der vom Vektor erzeugten Geraden beschreibt.

Question

Wir betrachten den euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) mit dem Standardskalarprodukt

\( <\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right]>:=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} \)

und die lineare Abbildung

\( \begin{aligned} A: & \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ &\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] & \mapsto A \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned} \)

Bestimmen Sie die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) so, dass die zugehörige lineare Abbildung \( A \) eine Spiegelung an der vom Vektor \( \vec{v} \) erzeugten Geraden beschreibt.

Answer 1

Mit der Annahme, dass v durch den Ursprung geht, ist zunächst der Neigungswinkel der Geraden gegenüber er Abszisse φ = arctan(v_y/v_x). Die Spiegelung wird dann durch die Matrix A mit

$$ A =\begin{pmatrix}  cos(2\varphi) & sin(2\varphi) \\ sin(2\varphi) & -cos(2\varphi) \end{pmatrix}  $$

realisiert

Answer 2

Du berechnest zunächst den Neigungswinkel der Spiegelgeraden mit φ = arctan(v_y/y_x). dann ist

$$ A =\begin{pmatrix}  cos(2\varphi) & sin(2\varphi) \\ sin(2\varphi) & -cos(2\varphi) \end{pmatrix}  $$