Geben Sie alle Nullstellen der Funktion an. Ganzrationale Funktion: f(x) = (1/20) * (x^4 - 4x^3 - 18x^2 + 44x - 23)

Question

Aufgabe Ganzrationale Funktionen:

Gegeben ist die reelle Funktion \( f \) mit der Gleichung

\( f(x)=\frac{1}{20}\left(x^{4}-4 x^{3}-18 x^{2}+44 x-23\right) \quad \text { und } D_{f}=R \)

Der Graph der Funktion \( \mathrm{f} \) im kartesischen Koordinatensystem heißt \( \mathrm{G}_{f} \)

2.1 Geben Sie alle Nullstellen der Funktion \( f \) an.

2.2. Begründen Sie, dass der Graph \( G_{f} \) bei \( x=1 \) eine Extremstelle besitzt und dass es sich dabei um ein Maximum handeln muss.

2.3 Ermitteln Sie den Punkt des Graphen \( G_{f} \), in welchem dieser aus einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht.

2.4 Zur Tangente t im Punkt \( P(2 ; f(2)) \) gibt es zwei Parallelen, die ebenfalls Tangenten an den Graphen \( G_{f} \) sind.

Ermitteln Sie die Berührungsstellen der beiden Parallelen zur Tangente t.

Answer 1

Raten kannst du die Nullstelle x=1. Dann Polynomdivision (dabei würde ich das 1/20 erst mal weglassen) gibt:

(1/20) * (x^3 - 3x^2 - 21x + 23) und da gibt es wieder die 1.

Also noch mal dividieren gibt:

(1/20)*(x^2 - 2x - 23) mit x=1 ±2*√(6).

b) f ' (x) = (1/20) * (4x^3 - 12x^2 - 36x + 44)

und f ' ' (x) = (1/20) * (12x^2  - 24x - 36 )

zeigen f ' (1 ) = 0 und f ' ' (1) < 0 also Max. bei x=1

c) Das muss ein Wendepunkt sein.

f ' ' (x) = 0 gibt x=3 oder x=-1

f ' ' (2,9) < 0 und f ' ' (3,1) > 0 also übergang von rechts auf links

aber

f ' ' (-1,1) ungefähr 0,246 > 0

f ' ' (-o,9) ungefähr - 0,234  < o

also bei x=1 Übergang von links auf rechts.

Tangente in P hat Steigung f ' (2) = -11/5

f ' (x) = -11/5 gibt x^3 - 3x^2 - 9x +11 = -11   bzw.   x^3 - 3x^2 - 9x +22 = 0

Das hat natürlich die Lösung x=2 und mit Polynomdivision erhält man:

x^2 - x -11 = 0   und die Lösungen x = 1/2 ± (3/2)*√(5) sind die gesuchten Stellen.