die lokale änderungsrate grenzwertrechnung

Question

Das Thema Die lokale Änderungsrate, wie kann ich da die grenzwertrechnung rechnen? was heißt limes und was hat das für eine Funktion? könntet ihr mir vielleicht schrittweise erklären und vorrechnen anhands dieses beispieles

0,5 x² , x₀ = 1

Comments

Benutzt ihr die h-Methode?

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Ja die benutzen wir .

Answer 1

Die Idee ist eine Änderung über einem kurzen Intervall der Länge h zu betrachten.
dass ist dann    (f( x₀ +h ) - f (  x₀ ))    /  h
und bei deinen Werten also
(0,5*(1+h)^2 - 0,5 )   / h
= (0,5h^2 + h ) / h  und jetzt im Zähler h ausklammern
= h*(o,5h + 1) / h   und h kürzen
= 0,5h + 1
Das ist die Änderungsrate über einem Intervall der Länge h.
Und jetzt stellt man sich vor, dass man für h Zahlen einsetzt die ungefähr bei o liegen,
etwa h=0,1  oder h= 0,001   oder h = 0,00001   etc,
Dann siehst du, dass die Änderungsrate 0,5h + 1 sich für
Werte von h , die nahe bei 0 sind, kaum noch von der Zahl 1 unterscheiden.
Dieses Phänomen nennt man auch:
"Für h gegen Null hat 0,5h + 1den Grenzwert 1."

Und dieser "Grenzwert" hier also die 1 ist die momentane Änderungsrate
zum Zeitpunkt x0=1.  Philosophisch gesehen ist das natürlich etwas
eigenartig, da man bei einem Zeitpunkt ja eigentlich nicht von einer Änderung
sprechen kann, deshalb nimmt mna die Krücke mit dem Grenzwert. Die
Idee hat sich allerdings seit Jahrhunderten bewährt und zu einer Reihe
interessanter Ergebnisse geführt.