Kurvendiskussion für f(x) = x^{2}·e^{x} sowie Volumen eines Rotationskörpers bestimmen

Question

Aufgabe 2:

Führen Sie für die Funktion \( f \) mit

\( f(x)=x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} \)

eine Kurvendiskussion durch (ausgenommen K7, also ohne Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten) und stellen Sie \( f \) über dem Intervall \( [-6 ; 1] \) grafisch dar.

Aufgabe 3:

Gegeben sei die Funktion \( f: x \rightarrow \mathrm{e}^{-x} ; x \in \mathbb{R}_{0}^{+} \).

a) Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f \) für eine beliebige, aber feste Stelle \( x=u \) auf.

b) Bestimmen Sie das Volumen \( V \) des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von \( f \) zwischen \( x=0 \) und \( x=10 \) um die \( x \)-Achse entsteht.

c) Für welches \( u \) hat das Dreieck, das aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen gebildet wird, maximalen Flächeninhalt?

Comments

Da steht doch sogar ohne Krümmungsverhalten,also ganz normale Kurvendiskussion:

-Nullstellen

-Extrempunkte

-Wendepunkte

Zu 3:
Wie sieht denn eine Tangente aus? Welche Eigenschaften hat sie?

Answer 1

Funktion & Ableitungen

f(x) = e^x·x^2

f'(x) = e^x·(x^2 + 2·x)

f''(x) = e^x·(x^2 + 4·x + 2)

Symmetrie

Keine erkennbare Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) f(x) = 0+

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

e^x·x^2 = 0

x^2 = 0

x = 0 (doppelte Nullstelle)

Extrempunkte f'(x) = 0

e^x·(x^2 + 2·x) = 0

x^2 + 2·x = 0

x·(x + 2) = 0

x = -2 ∨ x = 0

f(-2) = 4/e^2 = 0.54 --> HP(-2 | 0.54)

f(0) = 0 --> TP(0 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0

e^x·(x^2 + 4·x + 2) = 0

x^2 + 4·x + 2 = 0

x = - 2 ± √2 --> x = -3.41 ∨ x = -0.95

f(-3.41) = 0.38 --> WP1(-3.41 | 0.38)

f(-0.95) = 0.35 --> WP2(-0.95 | 0.35)

Skizze