E-Funktionen f(x) = (x+1) · e^{-x} ; x ∈ ℝ. Ableitungsfunktion?

Question

brauche kurz eure Hilfe bei folgender Frage:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+1) · e^-x ; x ∈ ℝ.

a) Ableitungsfunktion? (lautet die vielleicht f '(x) = e^-x · (-x) ?)

b) Zeige, dass die Graphen von f und f ' genau einen Schnittpunkt S haben und gib seine Koordinaten an. Prüfe rechnerisch, ob sich die beiden Funktionsgraphen rechtwinklig schneiden.

c) Die Parallele zur y-Achse mit x = u, u ≥ 0, schneidet den Graphen von f im Punkt P_u (u / f(u)) und den Graphen von f ' im Punkt Q_u (u / f '(u)). Bestimme u so. dass die Länge d(u) der Strecke P_uQ_u maximal wird, und gib dir max. Länge an.

d) Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-Achse und der Parallelen zur y-Achse mit x = u, u größer 0, ein Flächenstückchen ein. Ermittle Inhalt A(u) dieser Fläche allgemein in Abhängigkeit von u. Untersuche für u → unendlich den Inhalt des nach rechts unbegrenzten Flächenstücks.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, da ich bei diesen Fragen schon am verzweifeln bin.

Gruß

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f(x) = (x+1) · e^-x ; x ∈ ℝ.

a) Ableitungsfunktion? (lautet die vielleicht f '(x) = e^-x · (-x) ?)

Produktregel
( u * v ) ´ = u´* v + u * v´
(x+1) · e^-x = (1) * e^{-x} + ( x + 1 ) * e^{-x} * (-1)
1 * e^{-x} - ( x + 1 ) * e^{-x}
e^{-x} * ( 1 - x - 1 )
f ´( x ) = e^{-x} * ( - x )
Deine Ableitung ist also richtig

b) Zeige, dass die Graphen von f und f ' genau einen Schnittpunkt S
haben und gib seine Koordinaten an. Prüfe rechnerisch, ob sich
die beiden Funktionsgraphen rechtwinklig schneiden.

Schnittpunkt
f ( x ) = f ´( x )
( x + 1 ) * e^{-x} = (-x) * e^{-x}
x + 1 = - x
2x = -1
x = - 1/2
f ( - 1/2 ) = ( -1/2 + 1 ) * e^{-[-1/2]}
f ( - 1/2 ) = 0.824
S ( -1 /2  | 0.824 )

Steigung von f
f ´( -1/2 ) =  0.824
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = e^{-x} * ( x - 1 )
Steigung von f ´  an der Schnittstelle
f ´´ ( - 1/2 ) = -2.473

Probe
0.824 = - 1 / ( - 2.473 )  | falsch
Die Funktionen f und f ´ schneiden sich nicht rechtwinklig.

Soviel zunächst.

Comments

Danke :) könntest du mir bitte auch bei c und d) helfen Georgeborn? Denn das sind die eher schwierigen Aufgaben für mich :) danke

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Bei c) geht es eigentlich doch nur um die maximale Differenz der Funktionen. Die Parallele zur y-Achse ist immer eine Gerade von oben nach unten.

Die Frage ist, wo die maximale Distanz der Schnittpunkte ist. Das heißt im Klartext nichts anderes als die Stelle, an der die Funktionen am weitesten voneinander entfernt sind.

Also (x+1) · e^-x - (- xe^x) = (x+1) · e^-x + xe^x

Wenn die Ableitung von (x+1) · e^-x + xe^x 0 ist, ist das gesuchte u erreicht. Die Ableitung davon ist:

xe^x + e^x + xe^x = 2xe^x + e^x = (2x + 1) · e^x
Der erste Teil wurde schon abgeleitet, und ergibt ja xe^x, das wurde oben bereits berechnet. Der zweite Teil ist die Ableitung von xe^x mithilfe der Produktregel (kannst du oben nachlesen).

(2x + 1) · e^x = 0

Nach dem Satz des Nullproduktes:

entweder e^x = 0 ⇒ tritt nie ein
oder 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = -1 ⇒ x = -0,5

u ist also -0,5.

Die Länge ist dann f(u) - f'(u) = (-0,5+1) · e^-(-0,5) - (- (-0,5)e^-0,5) | drei Minusse, ui...
= 0,5·e^0,5 - 0,5e^-0,5 ≈ 0,5211

Hoffe du konntest das nachvollziehen

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@haberer
Du hast als Wert für den größten Abstand x = -0.5 heraus.
x = -0.5 ist aber der Schnittpunkt mit Abstand 0.

Unglücklichsterweise hast du falsch abgeleitet bei
( (2x + 1) · e^x )´
(2x + 1) · e^x
(2x + 1) · e^x  = 0

Richtig ist
( (2x + 1) · e^x )´
(1 - 2x ) · e^x
( 1 - 2x ) · e^x  = 0
x = 1/2

Der Rest kommt morgen.

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Hier zunächst einmal die Graphen

c.)
Derhaberer hat schon eine ausführliche Antwort gegeben. Leider ist
ein kleiner Rechenfehler vorhanden. Nichtsdestotrotz würde derhaberer
von mir für seine Ausführungen einen Pluspunkt bekommen.

d ( x ) = ( x+1) * e^{-x} - (-x) * e^{-x}
d ( x ) = ( x+1) * e^{-x} + x * e^{-x}
d ( x ) = e^{-x} * ( x + 1 + x )
d ( x ) = e^{-x} * ( 2 * x + 1 )

d ´ ( x ) = e^{-x}*(-1) * ( 2 * x + 1 ) + e^{-x} * 2
d ´ ( x ) = e^{-x} * ( -2*x - 1 ) + e^{-x} * 2
d ´ ( x ) = e^{-x} * ( -2*x - 1 + 2 )
d ´ ( x ) = e^{-x} * ( 1 -2*x )

Extrempunkt
( 1 - 2x ) · e^x  = 0
x = 1/2

d ( x ) = e^{-x} * ( 2 * x + 1 )
d ( 1/2 ) = e^{ - 1/2 } * ( 2 * 1/2   + 1 )
d ( 1 /2 ) = 0.607 * 2
d  ( 1 / 2 ) = 1.213

Der maximale Abstand zwischen f und f ´ist 1.213

d) Der Graph der Funktion f ' schließt mit der x-Achse und der Parallelen
zur y-Achse mit x = u, u größer 0, ein Flächenstückchen ein. Ermittle
Inhalt A(u) dieser Fläche allgemein in Abhängigkeit von u. Untersuche
für u → unendlich den Inhalt des nach rechts unbegrenzten Flächenstücks.

f´( x ) ist die rote Kurve. Die Fläche geht von x = 0 bis x = u.
Stammfunktion von f ´ ( x ) ist f ( x ) ( brauchen wir also gar nicht mehr zu bilden )

[ (x+1) · e-x ] ₀^u
( u + 1 ) * e^{-u}  - [ ( 0 + 1 ) * e^{-0} ]
( u + 1 ) * e^{-u}  - ( 1 * 1 ] )
( u + 1 ) * e^{-u}  - 1

Dies wäre das Integral. Die Fläche ist
A ( u ) = |  ( u + 1 ) * e^{-u}  - 1 |
( Die Fläche ist positiv )

lim u −> ∞ [  ( u + 1 ) * e^{-u}  - 1 ] 
lim u −> ∞ [  ( ∞ + 1 ) * e^{-∞}  - 1 ]
( Die e-funktion geht schneller gegen 0 als ( u + 1 ) gegen
unendlich geht. Das Produkt geht gegen 0.
Den Nachweis kann ich auch noch einstellen )
lim u −> ∞ = - 1
Die Fläche geht gegen 1 .