Question

Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ i } $$

Bin am verzweifeln...

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aus Duplikat:

n ∑ i i=1
Die Gleichung wäre ja x_n = x_n-1 + n oder x_n+1 = x_n + n +1
Störfunktion wär ja jetz mit der zweiten n + 1
Aber wie bestimm ich die homogene Lösung bzw. die partikuläre.

zur Partikulären die Störfunktion ist ja ersten Grades aber wie find ich da den passenden Ansatz?

Answer 1

$$\sum_{i=1}^n i$$

Rekursion: $$x_n=x_{n-1}+n \ \ , \ \ \ x_0=0$$

Homogene Lösung: $$x_n^{(H)}=x_{n-1}^{(H)}= \dots = x_{1}^{(H)}=x_{0}^{(H)}=0$$

Partikuläre Lösung: $$x_n^{(p)}=A+Bn$$

Da allerdings die homogene Lösung konstant ist und A ebenfalls konstant und somit Teil der homogenen Lösung ist, müssen wir den Term mit n multiplizieren. multiplizierenjjj

Also $$x_n^{(p)}=An+Bn^2$$

Diesen Ansatz setzen wir nun in die ursprüngliche rekursive Gleichung ein: 

$$An+Bn^2=A(n-1)+B(n-1)^2+n \\ \Rightarrow An+Bn^2=An-A+Bn^2-2Bn+B+n \\ \Rightarrow (2B-1)n+(A-B)=0 \\ \Rightarrow 2B-1=0 \text{ und } A-B=0 \\ \Rightarrow A=B=\frac{1}{2}$$ 

Somit haben wir die partikuläre Lösung $$x_n^{(p)}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n^2$$

Also die Lösungder Rekursion ist: $$x_n=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n^2=\frac{n(1+n)}{2}$$