(x^4+x^2)*(x^3+27)=0 lösen

Question

Hallo:)
Ich habe diese Funktion: (x^4+x^2)*(x^3+27)=0 und soll alle reellen Lösungen finden. Aber ich komme nicht weiter. Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

Eine Lösung kannst du sofort erkenne: x=0, da 2 Faktoren vorliegen und das Produkt 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Dies ist der Fall wenn x=0 ist, da (0^4+0^2)=0

Comments

Nun guckst du dir die 2. Klammer an

(x³+27)

Diese muss auch 0 sein. (Bzw. einer der beiden muss 0 sein, da aber alle Lösungen genannt werden soll muss es diese auch)

Du setzt sie gleich 0

(x³+27)=0

x³=-27

x=-9

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Wenn du weitere Fragen hast, dann frag :)

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vielen dank für die schnelle hilfe :)

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hab alles verstanden :)

Answer 2

Hallo !

(a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d

(x ^ 4 + x ^ 2) * (x ^ 3 + 27) = x ^ 4 * x ^ 3 + x ^ 4 * 27 + x ^ 2 * x ^ 3 + x ^ 2 * 27 = x ^ 7 + x ^ 5 + 27 * x ^ 4 + 27 * x ^ 2

f(x) = x ^ 7 + x ^ 5 + 27 * x ^ 4 + 27 * x ^ 2

Ausklammern von einem x -->

f(x) = x * (x ^ 6 + x ^ 4 + 27 * x ^ 3 + 27 * x)

Erster Linearfaktor ist (x - 0), also x, also erste Nullselle bei x = 0

g(x) = x ^ 6 + x ^ 4 + 27 * x ^ 3 + 27 * x

Ausklammern von einem x -->

g(x) = x * (x ^ 5 + x ^ 3 + 27 * x ^ 2 + 27)

Ein weiterer Linearfaktor ist (x - 0), also x, also zweite Nullselle bei x = 0

h(x) = x ^ 5 + x ^ 3 + 27 * x ^ 2 + 27

Das kann man mit WolframAlpha plotten lassen -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+h%28x%29+%3D+x+^+5+%2B+x+^+3+%2B+27+*+x+^+2+%2B+27

Man erkent dass eine weitere Nullstelle bei - 3 liegt, Probe -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=h%28x%29+%3D+x+^+5+%2B+x+^+3+%2B+27+*+x+^+2+%2B+27+with+x%3D-3

Die Probe ergibt dass bei x = -3 tatsächlich eine weitere Nullstelle liegt, der dritte Linearfaktor beträgt also (x + 3)

k(x) = (x ^ 5 + x ^ 3 + 27 * x ^ 2 + 27) / (x + 3)

Polynomdivision online von Arndt Brünner -->

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

k(x) = x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 10 * x ^ 2 - 3 * x + 9

Dieses Polynom hat nur noch imaginäre Nullstellen und keine reellen mehr -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=roots++x+^+4+-+3+*+x+^+3+%2B+10+*+x+^+2+-+3+*+x+%2B+9

Fazit -->

f(x) = x ^ 7 + x ^ 5 + 27 * x ^ 4 + 27 * x ^ 2 = (x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 10 * x ^ 2 - 3 * x + 9) * (x + 3) * x * x

also

f(x) = x ^ 7 + x ^ 5 + 27 * x ^ 4 + 27 * x ^ 2 = (x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 10 * x ^ 2 - 3 * x + 9) * (x + 3) * x ^ 2

LG Spielkamerad