In diesem Artikel geht es um Extremwerte.
Extrema allgemein
Extrema sind die Stellen eines Graphen, in welchen der Funktionswert extremal, also minimal oder maximal sind. An diesen Stellen ist entweder die Steigung gleich Null, die Tangente also waagerecht, oder man befindet sich am Rand des Definitionsbereichs.
Es wird noch zwischen folgendem entschieden:
- Maximum / Hochpunkt: höchster Punkt
- Minimum / Tiefpunkt: niedrigster Punkt
Auch diese lassen sich wieder unterteilen in:
- lokales Maximum / Minimum: größter / kleinster Funktionswert in einem noch so kleinen Intervall. Das heißt, in der näheren Umgebung gibt es keinen größeren oder kleineren Funktionswert.
- globales bzw. absolutes Maximum / Minimum: Größter bzw. kleinster Funktionswert des gesamten Graphen. Dabei muss nicht immer das Extremum dieses globale Maximum oder Minimum sein, bei Funktionen zweiten Grades beispielsweise können diese Punkte im Unendlichen liegen.
Wenn man von einer Extremstelle spricht, redet man lediglich von einem x-Wert, zu dem noch sein Funktionswert bestimmen kann, um das Extremum zu erhalten.
Schließlich gibt es noch den Sattelpunkt. Dort ist die Steigung zwar Null, es handelt sich jedoch nicht um ein Extremum.
Ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt liegt vor, wenn f'(x) sich wie folgt verhält:
- Hochpunkt: VZW von + nach -. Das heißt, vor dem Extremum steigt die Funktion, danach fällt sie. Also: f''(x) < 0
- Tiefpunkt: VZW von - nach +. Das heißt, vor dem Extremum fällt die Funktion, danach steigt sie. Also: f''(x) > 0.
- Sattelpunkt: VZW ist egal, allerdings muss f''(x) = 0 sein.
Anzahl der Extrema
Eine Funktion (Polynom/ganzrationale Funktion) n-ten Grades kann höchstens n-1 Extrema haben. So hätte zum Beispiel eine Parabel ein Extremum (nämlich den Scheitelpunkt) und eine Funktion dritten Grades maximal zwei Extrema (entweder Sattelpunkt oder zwei Extremstellen).
Und warum ist das so?
Will man das Extremum bestimmen, so leitet man zunächst ab und bestimmt die Nullstellen der Ableitungsfunktion (Genaueres im nächsten Absatz). An der Stelle, an dem die Funktion die Steigung Null hat, hat die Ableitungsfunktion die Nullstelle, da diese ja die Steigung des Graphen beschreibt. Wollten wir jetzt den x-Wert bestimmen, an dem die Steigung 2 beträgt, so würden wir die Ableitungsfunktion bilden und sehen, an welchem Punkt sie den Funktionswert 2 hat. Das tun wir hier ja auch, aber wir wissen ja bereits, dass der Funktionswert der ersten Ableitung Null sein soll.
Die Ableitungsfunktion ist einen Grad niedriger als f(x). Und eine Funktion n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben. Würden wir jetzt eine Funktion dritten Grades haben, so würden wir eine quadratische Funktion als Ableitung erhalten, von der wir dann die NST bestimmen. Eine Parabel hat maximal zwei Nullstellen, also gibt es auch maximal zwei Extremstellen bei f(x).
Bestimmung der Extrema
Wie bereits erwähnt, bestimmen wir zunächst die erste Ableitung und setzen sie gleich Null. Diese Bedingung, f'(x) = 0, ist die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremwertes. Ob auch wirklich ein solcher vorliegt, kann man noch nicht sagen.
Nun prüfen wir die hinreichende Bedingung. Diese besagt, dass f''(x) nicht Null sein darf. Somit bilden wir die zweite Ableitung und schauen, ob sie an dieser Stelle größer oder kleiner Null ist. Damit können wir dann auch gleich sagen, ob der Extremwert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Um das globale Extremum oder Minimum zu bestimmen, schauen wir uns die Funktion in einem Intervall an. Man bestimmt Extremstellen, schaut, ob diese einen kleineren oder größeren Funktionswert als diese an den Intervallgrenzen haben. Ist dem nicht so, so sind die Intervallgrenzen absolute Extremstellen. Auch absolute Extremstellen sind lokale Extremstellen!
Beispiel
f(x) = x^2 -4x -2
Zunächst leiten wir ab:
f'(x) = 2x-4
Nun setzen wir f'(x) = 0 und lösen nach x auf:
0 = 2x -4
=> x = 2
Das ist unsere Extremstelle.
Nun setzen wir diesen Wert in f(x) ein, um den Funktionswert zu erhalten: f(2) = -6
Die notwendige Bedingung ist erfüllt. Nun schauen wir uns das hinreichende Kriterium an. Nach diesem ist f''(x) größer oder kleiner Null. Bilden wir nun die zweite Ableitung:
f''(x) = 2
Unsere Stelle ist also ein Extremum. Man kann auch sofort ablesen, dass dies ein Minimum ist, da f''(x) > 0 ist.
Schauen wir uns die Funktion im Intervall I = [0 ; 4,5] an. Nun bestimmen wir die Funktionswerte dieser Punkte:
f(0) = -2
f(4,5) = 0
Man sieht: Der Funktionswert bei (4,5|0) ist der größte - somit wäre dies unser absolutes Maximum.
