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Hallo liebe Mathefreunde :)

Aus der Schule bin ich nun schon ein paar Jährchen raus und scheinbar habe ich einiges vergessen.Das Tema ist Wahrscheinlichkeitsberechnung. Hierzu 2 Fallbeispiele, bei welchen ich einfach nicht auf die richtig Lösung komme.


1) 9 voneinander unabhängige Zufallsgeneratoren generieren eine Zahl zwischen 1 und 6. z.B.

5 3 1
1 4 2
4 6 3


Die Reihen sind immer von links nach Rechts zu lesen. Hierbei möchte ich nun die folgenden Werte berechnen:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Reihe 3 gleiche zahlen hat (Mein Ergebnis: 35nein 1ja oder 1/36 oder 2,778%)

5 5 5
1 4 2
4 6 3


2. Die Wahrscheinlichkeit das irgend eine der 3 Reihen 3 gleiche Zahlen hat (Mein Ergebnis 11nein 1ja oder 1/12 oder 8,333%)

5 3 1
1 4 2
4 4 4


3. Die Wahrscheinlichkeit das 2 Reihen 3 gleiche Zahlen haben (Und hier bin ich mir absolut unsicher: 00,02250514403%)

5 5 5
1 4 2
4 4 4


4. Die Wahrscheinlichkeit das 3 Reihen 3 gleiche Zahlen haben (Und hier bin ich mir absolut unsicher:00,00021433471%)

5 5 5
3 3 3
4 4 4



2) 6 voneinander unabhängige Zufallsgeneratoren generieren eine Zahl zwischen 1 und 4 z.B.

2 3 2
4 1 4


1. Hier benötige ich eine Formel mit welcher ich die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, das 2, 3, 4, 5 oder alle 6 zahlen gleich sind.


Ich bin für alle Hinweise Dankbar. Es ist wahrscheinlich, das ich für Formeln eine genauere Erklärung brauche und bedanke mich jetzt schon für eure Geduld :)



Patrick

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zu 1) Die blauen Einschübe präzisieren die Aufgabenformuierung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Reihe 3 gleiche Zahlen hat und die anderen beiden Reihen irgendwas zeigen:, beträgt \(1/36\). (entspricht deinem Ergebnis.)
 

2. Die Wahrscheinlichkeit dass irgend eine, d.h. mindestens eine, der 3 Reihen 3 gleiche Zahlen hat, beträgt:
$$1-\left(\frac{35}{36}\right)^3 \approx 0.08103995199$$(anders dein Ergebnis)

2. Die Wahrscheinlichkeit dass irgend eine, d.h. genau eine, der 3 Reihen 3 gleiche Zahlen hat, beträgt:
$$3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{35}{36}  \approx 0.07876800412 $$(anders dein Ergebnis)


3. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Reihen 3 gleiche Zahlen haben, beträgt:
$$3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{35}{36}  \approx 0.002250514403 $$(dein Ergebnis war 00,02250514403% nunja...)


4. Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Reihen 3 gleiche Zahlen haben, beträgt:
$$\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{36}  \approx 0.00002143347051 $$(Dein Ergebnis: 00,00021433471%)


Soweit ich gesehen habe sind in den beiden anderen Antworten viele Fehler enthalten; ich hoffe, dass zumindest meine Rechnungen richtig sind! :-)

Hi, und erst einmal danke an alle!

diese antwort ist bisher für mich die, welche ich am bessten nachvollziehen kann... leider kann ich keine der formeln auf die 2. Problemstellung anwenden.bin grade unterwegs, späer also mehr.

2 Antworten

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Die Reihen sind immer von links nach Rechts zu lesen. Hierbei möchte ich nun die folgenden Werte berechnen:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Reihe 3 gleiche zahlen hat (Mein Ergebnis: 35nein 1ja oder 1/36 oder 2,778%)

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1 4 2
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Hier ist ja die Ziehung der ersten Zahl egal. Danach wird die Ziehung der 2. und 3. Zahl

betrachtet. Das kann man sich gut durch einen Baum darstellen. (s. Anlage)Bild Mathematik

mit der Wahrscheinlichkeit 1/9 wird beim 2. Ziehen die gleiche Farbe wie beim 1. Mal

gezogen und beim 3. Mal ist es genauso.

Die Wahrscheinlichkeit in so einem Baum von der Wurzel bis ans Ende zu kommen ist

das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Weges also hier 1/9 * 1/9 = 1/81

Du kannst das auch unmittelbar erschließen:

Es gibt 9^9 verschiedene Muster, die erzeugt werden können.

Wenn die ersten drei alles Einsen sind, bleiben noch 6 Ziehungen übrig, das wären 9^6

Möglichkeiten, da das aber nicht nur mit drei Einsen sondern mit irgend drei gleichen am Anfang

so ist, gibt es 9*9^6 Muster mit drei gleichen Werten in der ersten Reihe, also 9^7.

Dann hast du 9^7 "günstige" Fälle von insgesamt 9^9. Da wäre eben auch die

Wahrscheinlichkeit 9^7 / 9^9 = 1/9^2 = 1/81




2. Die Wahrscheinlichkeit das irgend eine der 3 Reihen 3 gleiche Zahlen hat (Mein Ergebnis 11nein 1ja oder 1/12 oder 8,333%)

5 3 1
1 4 2
4 4 4

Hier gibt es genau 3 mal so viele "günstige" Fälle, da ja jede der drei Reihen die drei gleichen

Zahlen enthalten kann, also  1/27

Avatar von 289 k 🚀

Es ging ja noch weiter:

3. Die Wahrscheinlichkeit das 2 Reihen 3 gleiche Zahlen haben (Und hier bin ich mir absolut unsicher: 00,02250514403%)

5 5 5
1 4 2
4 4 4

Für die erste Reihe mit drei Einsen war ja die Anzahl der Möglichkeiten 9^6, weil noch 6 frei

zu wählen waren. Jetzt muss nach der Auswahl der ersten Reihe auch die zweite Reihe stimmen,

wenn das wieder 3 Einsen sein sollen, bleiben nur noch 3 frei zu wählen. Das wären also

9^3 Möglichkeiten. Allerdings müssen es ja nicht unbedingt jedesmal Einsen sein, sondern für

jedes der Reihen gibt es 9 Möglcikeiten, also sind das insgesamt schon mal 81*9^3 = 9^5.

Außerdem müssen es nicht unbedingt die ersten beiden Reihen sein, also gibt es dreimal soviele

Möglichkeiten, also insgesamt 3*9^5 günstige von 9^9 also p= 3*9^5 / 9^9 = 3/9^4 =1/2187



4. Die Wahrscheinlichkeit das 3 Reihen 3 gleiche Zahlen haben (Und hier bin ich mir absolut unsicher:00,00021433471%)

5 5 5
3 3 3
4 4 4

Hier ist ja nur die Wahl der ersten Ziffer jeder Reihe frei. Also gibt es 9^3 Möglichkeiten

also p = 9^3 / 9^9   =  1 / 9^6  = 1 / 531441 ungefähr 0,000002

2) 6 voneinander unabhängige Zufallsgeneratoren generieren eine Zahl zwischen 1 und 4 z.B.

2 3 2
4 1 4


1. Hier benötige ich eine Formel mit welcher ich die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, das 2, 3, 4, 5 oder alle 6 zahlen gleich sind.


 wenn es nur 4 verschiedene Zahlen gibt, sind bei 6 gezogenen Zahlen immer

mindestens 2 gleiche dabei, also hier 100%.




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dergleichen Fragestellungen (es liegen sog. Bernoulli-Versuche zugrunde, siehe google) bekommt man recht zügig mittels der Binomialverteilung in den Griff. Diese wird beschrieben durch:

$$\sum_{i=k}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}  $$

darin sind n die Anzahl der gesamt Versuche, k die Anzahl der Treffer und p die Trefferwahrscheinlichkeit. Der Ausdruck

$$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$$

ist dabei ein sog. Binomialkoeffizient (siehe Google).

Im Summenzeichen setzt man  dann ein, wenn mehrere Trefferanzahlen infrage kommen. also wenn zB mindestens zwei Treffer gefragt sind, ist i=2.

Um dies nun auf Dein Problem anzuwenden ist zunächst festzuhalten, dass es ja immer darum geht, die Häufigkeit der Pasch-Ereignisse zu betrachten. Da unter 1. neun Generatoren unabhänig arbeiten wird also ein Generator als ein Versuch betrachtet, bei dem die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch als Erfolg angesehen wird.

Somit ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch. Es wird dabei aus 6 Ziffern 3 mal mit Zurücklegen gezogen. es gibt also 6^3 Gesamtmöglichkeiten. Unter diesen gibt es 6 Möglichkeiten für einen Pasch. p ist somit 1/36. (Das ist auch die Antwort zu 1.1.)

zu 1.2. irgendeine Reihe hat Pasch. Wir setzen n=3 (9 Generatoren also 9 Versuche), i=1 (da mindestens ein Erfolg gefragt ist, achtung: auch zwei oder drei Pasch erfüllen diese Forderung!) und p=1/36 es ist also:

$$\sum_{i=1}^{9}{\begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix}\cdot (\frac{1}{36})^k\cdot (\frac{35}{36})^{9-k}}  $$

Wenn Du einen Taschenrechner hast, der das Summenzeichen und den Binomialkoeffizienten auswerten kann, kannst Du das so eingeben. Ansonsten hilft ggf. Excel mit BINOM.VERT oder eben das rechnen von Hand:

mit Exel. =1-BINOM.VERT(0;9;1/36;wahr) = 0,22394

zu 1.3. wir setzen analog zu 1.2 nun i=2 da nach mindestens zwei Pasch gefragt ist:

$$\sum_{i=2}^{9}{\begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix}\cdot (\frac{1}{36})^k\cdot (\frac{35}{36})^{9-k}} = 0,02439$$

für 1.4 setzen wir entsprechend i=3 und es wird der Ausdruck

$$\sum_{i=3}^{9}{\begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix}\cdot (\frac{1}{36})^k\cdot (\frac{35}{36})^{9-k}} =0,00159$$

Für das Problem unter 2. gehst Du entsprechend vor. dabei sind n=6 und p=1/16... zB Für mindestens 2 Pasch ist die Wahrscheinlichkeit dann 0,04949

Avatar von 1,3 k

ich sehe gerade, dass unter 2. gar nicht nach Pasch Ergebnissen gefragt ist...

ach und unter 1. werden ja nur 1 zahl pro Generator gezogen, dann ist meine Antwort murks, entschuldige

Ja, das war scheinbar etwas verwirrend :(
Beim ersten Versuch geht es um 3 Reihen, beim 2. Versuch geht es um um 6 Einzelne die frei miteinander kombiniert werden können. Den 2. Versuch kann man wie ein Rubbellos ansehen. Es hat 6 Felder, es gibt 4 verschiedene Symbole, wie hoch sind die Gewinnchancen, (3 gleiche, 4 gleiche, 5 gleiche, 6 gleiche)

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