Zeigen sie mittels Majorantenkriteriium das die reihe konvergiert

Question

Benutzen sie das Majorantenkriterium um zu zeigen, dass die reihe summe 1/n! konvergiert.

Zeigen sie genauer, dass eine zahl a existiert, so dass für alle n >0

$$ \frac { 1 }{ n! } <a(\frac { 1 }{ 2 } )\quad hoch\quad n $$ gilt

ich weiß nicht wie ich das zeigen kann, kann mir jemand eventuell helfen

Answer 1

Zeige per Induktion für \( n\geq 4\):      \(n! > 2^n \).

Daraus folgt dann \( \frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n} \). Das \(a\) wirst du dann sicher auch bestimmen können. Falls du weitere Fragen hast, stelle sie.

Comments

ehrlich gesagt weiß ich gar nicht was die induktion ist muss ich erstma nachschlagen. und woher kommt denn jetzt die 4??

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Puh, wenn es an Grundlagen wie Induktion hapert, solltest schleunigst darum kümmern!

Die 4 kommt daher, dass die Ungleichung für \(n < 4\) nicht gilt.

Answer 2

Zum 1:
Ich weiß nicht genau,ob das als Majorante gilt,aber betrachten wir mal e^x :
$${ e }^{ x }=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } $$

Eigentlich könnte man sich das als Majorante wählen.

Aber:

Setzen wir jetzt x = 1 :

$${ e }^{ 1 }=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { 1 }^{ n } }{ n! }  } $$

Und das ist ja genau deine Reihe.

Zum 2. weiß ich grade nichts.