Menge M aller Nullstellen von sin(log(x))?

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Geben Sie die Menge M aller Nullstellen der Funktion f(x) = sin(log(x))
an."

Ich habe versucht mit der allgemeinen Formel für Sinusnullstellen: k + π
weiter zu kommen, doch ich bin zu keiner richtigen Lösung gekommen.

Comments

ist log(x) der natürliche Logarithmus oder jener zur Basis 10?

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ich vermute mal, dass es der "10er log" ist. Der natürliche wäre "ln"

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im englischen ist log auch gerne mal der natürliche. im deutschen, im Übrigen, wird der dekadische idR mit lg bezeichnet. log wird hier nur mit Angabe der Basis verwendet...

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Beim Funktionsplotter ist log der dekadische log_(10). Vgl. Graph sin(log(x)).

Interessant ist übrigens auch der Graph von log(sin(x)) - aber nur bei unserem Plotter, denn der verbindet die jeweils ins -∞ strebende Linie mit dem nächsten Graphenteil...

Answer 1

falls log den dekadischen Logarithmus meint:

sin(x)=0 gilt dann wenn x = nπ mit n ∈ ℕ, also ist sin(log(x)) = 0 wenn log(x)=  nπ

log(x)= nπ lässt sich (mit der Basis 10) schreiben als:

10^nπ=x somit sind die Nullstellen 10^nπ mit  n ∈ ℕ (denke beim prüfen mit dem TR daran, dass Du in Radian rechnest!)

falls log den natürlichen Logarithmus meint:

hierin lästt sich die Gleichung  log(x)= nπ nach potenzieren mit e schreiben als:

x=e^nπ womit dann auch die Nullstellen für n ∈ ℕ bekannt wären

Comments

der Hinweis unten von Bepprich (danke dafür) ist noch wichtig: n ist selbstverständlich ∈ ℤ! nur in diesem Fall wegen log muss n ∈ ℕ vorgegeben werden!

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Super vielen Dank ^^. Sehr gut erklärt so kann ich es sicherlich im Kopf behalten

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10 ^{- pi} ist aber auch eine Nullstelle.   n aus Z war schon ok.

Answer 2

"Geben Sie die Menge M aller Nullstellen der Funktion f(x) = sin(log(x))
an."

Ich habe versucht mit der allgemeinen Formel für Sinusnullstellen: k + π
weiter zu kommen, doch ich bin zu keiner richtigen Lösung gekommen.

Aber die Idee war schon ganz gut:
Es muss also log(x) = k * π    (mal nicht + ) sein.

Also    x = e^{k*pi} oder auch = e^{pi}  hoch k
und fall s das der Zehnerlog. ist, also statt "e hoch" eben "10 hoch".

Comments

Bedingung für die Nullstelle: sin(log(x)) = 0 (allgemein f(x) = 0)

Dann erst kann man sich überlegen, wann der Sinus im Allgemeinen den Wert Null annimmt. Und das ist bei k*π mit k ∈ ℤ

Hier für das Beispiel: Da aber der log immer größer Null ist, gilt k*π mit k ∈ ℕ außer Null

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Auf meinem Zettel steht nichts weiter, welcher Logarithmus gemeint ist. Doch ich vermute mal den zur Basis 10.  Vielen Dank und gut nachvollziehbar

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Du meinst sicher das x bei log(x) muss größer als Null sein.

Der log kann durchaus negativ sein. Etwa log₁₀ (0,1) = -1

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ja stimmt., habe mich leider verdacht .-)