Finden Sie die Menge N( f ) aller Nullstellen der Funktion f :ℂ → ℂ , z → f (z) = w ,

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Menge N( f ) aller Nullstellen der Funktion f :ℂ → ℂ , z → f (z) = w ,
wobei f (z) = 1+ z + z² + z³ + z⁴

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es natürlich erst einmal 0 vorne heran zu setzen,
Erst habe ich es versucht mit ausklammern, dies hat mich aber nicht sehr weit gebracht.(habe dafür die 1 auf die andere Seite geschoben)
Dann habe ich z = x+iy Für alle z eingesetzt und die i² mit -1 ersetzt. Jetzt stehe ich aber wieder vor dem Selben Problem.
Ausklammer bring nichts und ich glaube nicht das Ausklammern hier auch der richtige Ansatz ist.
Was wäre denn euer Ansatz oder Idee so das ich danach selber weiter machen kann?
weiterhin stört mich das f(z) = w, da w ja meist für eine 2. komplexe Zahl genommen wird ( ich soll es nachher auch in der Gaußschen zeigen)

Comments

Verwende mal die Formel für die geometrische Summe

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Tut mir leid, ich stehe immer noch auf dem Schlauch, durch die Geometrische Summe Habe ich jetzt
\( \frac{1-z^5}{1-z} \) diese kann ich dann = 0 setzen aber das ist wieder der Moment in dem ich auf den Schlauch sitze.
Sobald ich etwas hier einsetze was 0 egibt , z.b. -1, und ich es wieder in die original Form einsetzte Kommt da eben nicht 0 raus. Ich glaube ich komme hier nicht auf einen grünen Zweig. Könnten sie mir nochmal ein wenig weiter erklären?
(Edit. Gerade gemerkt das -1 nicht 0 ergibt und 1 nicht rein dark, da unten dann auch 0 stünde)

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Wenn du da -1 einsetzt kommt ja auch nicht 0 raus sondern 1. Es ist 1 - (-1) = 2.

Du musst die Nullstellen von \( 1 - z^5 \) suchen

Answer 1

z^5 - 1 = 0 hat in C 5 Nullstellen. Eine davon ist 1, das

ist keine Lösung von \(\frac{1-z^5}{1-z} =0 \) wegen Nenner =0.

Die anderen aber schon. Und die sind dann die gesuchten z

für k=1 bis 4    \( z_k =   e^{  \frac{k \cdot 2 \pi \cdot i}{5} } \)

Answer 2

Gesucht seien alle komplexen Lösungen der Gleichung \(z^4+z^3+z^2+z+1=0\).
Sicher ist \(z\ne0\). Division durch \(z^2\) liefert nach einigen Umsortierungen$$\left(z^2+2+\frac1{z^2}\right)+\left(z+\frac1z\right)-1=0.$$Substituiere \(v=z+\tfrac1z\) und erhalte \(v^2+v-1=0\).\(\\pq\)-Formel liefert \(v_{1,2}=-\frac12\left(1\pm\sqrt5\right).\\\)Rücksubstitution liefert \(z^2-vz+1=0.\)
Erneutes Anwenden der \(pq\)-Formel liefert die gesuchten Lösungen:$$\large\boxed{\begin{aligned}z_1&=-\frac14\left(1+\sqrt5+\mathrm i\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)\\[8px]z_2&=-\frac14\left(1+\sqrt5-\mathrm i\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)\\[8px]z_3&=-\frac14\left(1-\sqrt5+\mathrm i\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)\\[8px]z_4&=-\frac14\left(1-\sqrt5-\mathrm i\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)\end{aligned}}$$