Bestimmen Sie die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte (Mit Musterlösung)

Question

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte:

$$ \lim_{x\rightarrow a - 0} f(x) \\ \lim_{x\rightarrow a + 0} f(x) $$

Musterlösung:

$$ f(x) = \frac{\cos x}{x}$$ mit a = 0

Da f(x) = -f(x) ist f ungerade
- ganz zu schweigen davon, das ich keine Ahnung habe, wie man gerade/ungerade bestimmt, warum bestimmt man es überhaupt? Wofür ist dies wichtig?

= cos x · 1/x

$$ lim_{x \rightarrow 0 - 0} f(x) = -\infty \\ lim_{x \rightarrow 0 + 0} f(x) = \infty$$

Wie ist das denn möglich? Wenn ich die 0 einsetze, habe ich 1/0, was ein unbestimmter Ausdruck ist.
Oder soll ich diese Aufgabe mit Hilfe der Graphen lösen?

Aufgaben:

$$1. f(x) = \frac{\sin4x}{x}$$
$$2. f(x) = |x| - x $$
$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} $$
Bei allen dreien für a = 0.

Answer 1

Wenn ich die 0 einsetze, habe ich 1/0, was ein unbestimmter
Ausdruck ist.

Du sollst nicht 0 einsetzen sondern

lim x −> 0(-)  : x geht gegen 0 von links
bzw
lim x −> 0(+)  : x geht gegen 0 von rechts

es ergibt sich
lim x −> 0(-)  [ cos (x ) * 1/x ] = 1 * (- ∞) = - ∞
lim x −> 0(+)  [ cos (x ) * 1/x ] = 1 * (+ ∞) = + ∞

Comments

2.) f ( x ) = | x |  - x
Siehst so aus als käme 0 heraus.

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Verstehe ich trotzdem nicht, wie aus 1/x = -∞ kommt. Genauso für 1/x = ∞.
Wenn ich ja von links komme, habe ich:

$$ \frac{1}{-10}, \frac{1}{-25}, \frac{1}{-584648612338}... \frac{1}{-\infty} $$

Wenn ich von rechts komme, habe ich:

$$ \frac{1}{+2}, \frac{1}{+380}, \frac{1}{+5648612338}... \frac{1}{+\infty} $$

Da habe ich die unendlichkeit immer noch im Nenner, und nicht im Zähler.

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Bei dir werden die Zahlen im Nenner immer größer.

Das ist falsch. Der Nenner geht gegen 0.
Ich schrieb :
lim x −> 0(-)  : x geht gegen 0 von links
lim x −> 0(-)  [ 1 / x ] = - ∞

Das dürfte bekannt sein.

Die Reihe ist
1 / 1 = 1
1 / 0.1 = 10
1 / 0.01 = 100
1 / ( fast null ) = unendlich

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Also:

$$1. f(x) = \frac{sin4x}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0-0} = sin4x \cdot \frac{1}{x}$$
Sinus 4x geht gegen 0. 1/x geht von links gegen -∞
Somit ist der linksseitige limes = -∞
$$1. f(x) = \frac{sin4x}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0+0} = sin4x \cdot \frac{1}{x}$$
Sinus 4x geht gegen 0. 1/x geht von rechts gegen ∞
Somit ist der rechtsseitige limes = ∞

$$2. f(x) = |x| - x \\ lim_{x\rightarrow 0-0} = |x| - x $$
|x| geht gegen 0, da |-0| = 0. x geht auch gegen 0, da (- (-0) = 0)
Somit ist der linksseitige limes = 0
$$2. f(x) = |x| - x \\ lim_{x\rightarrow 0+0} = |x| - x $$
|x| geht gegen 0. x geht auch gegen 0
Somit ist der rechtsseitige limes = 0

$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0-0} = |2x| \cdot \frac{1}{x} $$
|2x| geht gegen 0, da |-2·0| = 0. 1/x geht von links gegen -∞
Somit ist der linksseitige limes = -∞
$$3. f(x) = \frac{|2x|}{x} \\ \lim_{x\rightarrow 0+0} = |2x| \cdot \frac{1}{x} $$
|2x| geht gegen 0. 1/x geht von rechts gegen ∞
Somit ist der rechtsseitige limes = ∞

Habe ich es richtig begriffen?

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Nein, ist noch was falsch.

Bei |x| * 1/x hast du ja sozusagen den Fall 0 * unendlich

und über den kann man allgemein nichts sagen, kann 0 sein, kann unendlich sein

oder auch eine andere Zahl. Nimm mal

x * 1/x da ist es immer 1

aber x^2 * 1/x da geht es für x gegen Null insgesamt gegen 0

oder x * 1/x^2 da geht es für x gegen Null insgesamt gegen unendlich.

In deinem Fall ist es

von rechts +2

und von links -2

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Und außerdem \( \frac{\sin(4x)}{x} \to 4 \) für \( x \to 0 \).

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Der Fall cos(x) / x dürfte richtig beantwortet worden sein.
Die Aufgabe 3 auch.

2.)
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
Sin(4x) geht gegen 0
Also der Term insgesamt 0 / 0

Ein Fall für l´Hospital
[ sin ( 4x ) ] ´/  x ´ = [ cos (4x ) * 4 ] / 1

lim x −> 0(-)  [  cos (4x ) * 4 ] = 1 * 4 = 4

Rechtsseitig dasselbe.

Um die Methode von l ´Hospital kommen wir glaube
ich nicht herum.

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2.)
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
Sin(4x) geht gegen 0
Also der Term insgesamt 0 / 0    Das ist falsch!

Aber es geht auch ohne d' Hospital:

vielleicht kennst du die Formel sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

( kann man leicht aus dem Add.theorem herleiten,

sin(4x) = 2 sin(2x)* cos(2x)

= 2 * 2 sin(x) * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )

dann ist sin(4x)

=   2 * 2 sin(x) * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )    / x   und den Nenner setzen wir unter sin(x), also so:

=    2 *  2   * sin(x) / x   * cos(x) * ( 1 - 2 sin^2 (x) )  

und jetzt hat mal alles bekannte Grenzwerte bei den Faktoren

rot geht gegen 1          grün auch gegen 1  und blau auch gegen 1, also

Grenzwert insgesamt 4 .

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Na ja, wenn man Argumente wie "und jetzt hat mal alles bekannte Grenzwerte" benutzt, dann passt das sicher. Aber der der rote Faktor ist irgendwie nicht weit vom ursprünglichen Problem entfernt, oder?

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@mathef
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) / x ]
lim x −> 0(-)  [ sin ( 4x ) ]  = 0
lim x −> 0(-)  [ x ]  = 0
Also der Term insgesamt 0 / 0   

Das ist falsch!

Klär mich auf. Wo ist da etwas Falsches ?

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@mathef
Bitte sage mir ob oder was falsch ist.

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Klär mich auf. Wo ist da etwas Falsches ?

Der Fehlschluss liegt in der Idee:

Zähler hat Grenzwert 0 und Nenner hat Grenzwert 0 hätte

zur Folge, dass der Bruch den Grenzwert 0 hat.

Einfache Beispiele zeigen, dass dies nicht so ist:

Etwa  Bruch   x / x    für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber natürlich GW=1

oder   x^2 / x    für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber nach dem Kürzen x / 1 also stimmt in diesem Fall

Bruch hat Grenzwert 0

oder aber  x / x^2 für x gegen 0 hätten Zähler und Nenner den Gw 0,

ist aber nach dem Kürzen 1 / x also: Bruch hat Grenzwert  unendlich.

Fazit: Bei einem Bruch mit Zähler geht gegen Null und Nenner geht

gegen 0 , kann man allgemein nicht sagen.

Gutes Mittel zur Untersuchung ist manchmal: Regel von d' Hospital.

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Der Fehlschluss liegt in der Idee:

Zähler hat Grenzwert 0 und Nenner hat Grenzwert 0 hätte

zur Folge, dass der Bruch den Grenzwert 0 hat.

Habe ich nicht behauptet. Ich schrieb

Also der Term insgesamt 0 / 0
( und kein Ergebnis angegeben, dies kommt erst mit )

Ein Fall für l´Hospital
[ sin ( 4x ) ] ´/  x ´ = [ cos (4x ) * 4 ] / 1

lim x −> 0(-)  [  cos (4x ) * 4 ] = 1 * 4 = 4 

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Alles klar, hab nicht richtig hingesehen.

Answer 2

$$ \text{zu 2.} \lim_{x\to0} \left(\left|x\right|-x\right) = \lim_{x\to0} \begin{cases} \quad \,\,0,\text{ falls}\quad x\ge0\\-2x, \text{ falls}\quad x \le 0 \end{cases} = 0 $$

Dies ist aber auch ohne Rechnung klar, da eine Differenz stetiger Funktionen selbst auch stetig ist. Damit haben auch die einseitigen Limiten den Wert 0.

Comments

$$ \text{zu 1.}\quad \lim_{x\to0} \frac{\sin4x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin4x-\sin(4\cdot0)}{x-0} = 4\cdot\cos(4\cdot0) = 4 $$Dabei wird die Differenzierbarkeit von \(\sin(4x)\) an der Stelle \(x=0\) benutzt.